Номер 28.40, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.40, страница 178.

28.40. a) $(x + 3) \log_{\frac{1}{7}} x < 0;$

Б) $(x - 5) \sqrt{x + 1} < 0;$

В) $\frac{e^{3x - 1} - 1}{x + 8} > 0;$

Г) $x \sqrt{x + 7} < 0.$

а) Решим неравенство $(x + 3)\log_{\frac{1}{7}} x < 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.
2. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули каждого множителя на ОДЗ.
- Первый множитель: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Этот корень не входит в ОДЗ. Заметим, что на всей ОДЗ (при $x > 0$) множитель $(x+3)$ всегда положителен.
- Второй множитель: $\log_{\frac{1}{7}} x = 0 \Rightarrow x = (\frac{1}{7})^0 = 1$.
3. Так как на ОДЗ множитель $(x+3)$ всегда положителен, то знак всего произведения $(x + 3)\log_{\frac{1}{7}} x$ совпадает со знаком множителя $\log_{\frac{1}{7}} x$. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} \log_{\frac{1}{7}} x < 0 \\ x > 0 \end{cases}$
4. Решим неравенство $\log_{\frac{1}{7}} x < 0$. Представим $0$ в виде логарифма с тем же основанием: $0 = \log_{\frac{1}{7}} 1$.
$\log_{\frac{1}{7}} x < \log_{\frac{1}{7}} 1$.
Так как основание логарифма $\frac{1}{7}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 1$.
5. Данное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x - 5)\sqrt{x + 1} < 0$.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.
2. Значение выражения $\sqrt{x+1}$ всегда неотрицательно ($\ge 0$).
- Если $\sqrt{x+1} = 0$, то есть $x = -1$. Подставив в неравенство, получим $(-1-5)\sqrt{-1+1} = -6 \cdot 0 = 0$. Неравенство $0 < 0$ является ложным. Значит, $x = -1$ не является решением.
- Если $\sqrt{x+1} > 0$, то есть $x > -1$. На этом множестве мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{x+1}$, не меняя знака неравенства:
$x - 5 < 0$
$x < 5$
3. Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с условием $x > -1$:
$\begin{cases} x < 5 \\ x > -1 \end{cases}$
Это соответствует интервалу $-1 < x < 5$.
Ответ: $x \in (-1, 5)$.

в) Решим неравенство $\frac{e^{3x-1} - 1}{x + 8} > 0$.

1. Найдем ОДЗ. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$x + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8$.
2. Воспользуемся методом рационализации (замены множителей). Знак выражения вида $a^{f(x)} - 1$ (где $a > 1$) совпадает со знаком показателя $f(x)$. В нашем случае основание $e \approx 2.718 > 1$, поэтому знак числителя $e^{3x-1} - 1$ совпадает со знаком выражения $3x-1$.
Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему рациональному неравенству:
$\frac{3x - 1}{x + 8} > 0$.
3. Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
- Нуль числителя: $3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.
- Нуль знаменателя: $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$.
4. Отметим точки $-8$ и $\frac{1}{3}$ на числовой оси. Так как неравенство строгое, обе точки будут выколотыми. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -8)$, $(-8, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, +\infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- при $x > \frac{1}{3}$ (например, $x=1$): $\frac{3(1)-1}{1+8} = \frac{2}{9} > 0$. Интервал подходит.
- при $-8 < x < \frac{1}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{3(0)-1}{0+8} = -\frac{1}{8} < 0$. Интервал не подходит.
- при $x < -8$ (например, $x=-9$): $\frac{3(-9)-1}{-9+8} = \frac{-28}{-1} = 28 > 0$. Интервал подходит.
5. Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$.

г) Решим неравенство $x\sqrt{x+7} < 0$.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x + 7 \ge 0 \Rightarrow x \ge -7$.
2. Левая часть неравенства является произведением двух множителей: $x$ и $\sqrt{x+7}$.
Множитель $\sqrt{x+7}$ на ОДЗ всегда неотрицателен.
- Рассмотрим случай $\sqrt{x+7} = 0$, то есть $x = -7$. Левая часть неравенства равна $-7 \cdot 0 = 0$. Неравенство $0 < 0$ неверно, поэтому $x=-7$ не является решением.
- Рассмотрим случай $\sqrt{x+7} > 0$, то есть $x > -7$. На этом множестве знак всего произведения $x\sqrt{x+7}$ определяется знаком первого множителя $x$.
Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы $x < 0$.
3. Итак, мы имеем систему из двух условий:
$\begin{cases} x > -7 \\ x < 0 \end{cases}$
Решением этой системы является интервал $-7 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-7, 0)$.