Номер 28.33, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.33, страница 177.

28.33. a) $3^{\sin^2 x} \ge \cos x;$

б) $\sqrt{x^2 + 1} \le \cos x;$

в) $3^{\sin^2 x} \le \cos x;$

г) $\sqrt{x^2 + 1} \ge \sin x.$

а) $3^{\sin^2 x} \ge \cos x$

Рассмотрим левую и правую части неравенства.
Для левой части $f(x) = 3^{\sin^2 x}$: известно, что область значений функции $\sin^2 x$ есть отрезок $[0, 1]$. Поскольку показательная функция $y=3^t$ с основанием $3 > 1$ является возрастающей, область значений функции $f(x)$ есть отрезок $[3^0, 3^1]$, то есть $[1, 3]$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $3^{\sin^2 x} \ge 1$.
Для правой части $g(x) = \cos x$: область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $\cos x \le 1$.
Сравнивая обе части, получаем: $3^{\sin^2 x} \ge 1 \ge \cos x$.
Отсюда следует, что исходное неравенство $3^{\sin^2 x} \ge \cos x$ верно для всех действительных чисел $x$.
Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

б) $\sqrt{x^2 + 1} \le \cos x$

Оценим значения левой и правой частей неравенства.
Левая часть $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$: так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, $\sqrt{x^2 + 1} \ge \sqrt{1} = 1$. Минимальное значение левой части равно 1 и достигается только при $x=0$.
Правая часть $g(x) = \cos x$: область значений функции косинус есть $[-1, 1]$, то есть $\cos x \le 1$. Максимальное значение правой части равно 1.
Неравенство $\sqrt{x^2 + 1} \le \cos x$ может выполняться только в том случае, когда обе части принимают свое предельное значение, равное 1, так как левая часть всегда не меньше 1, а правая — не больше 1.
Это эквивалентно системе уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{x^2 + 1} = 1 \\ \cos x = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения: $x^2 + 1 = 1 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$.
Из второго уравнения: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=0$ (при $k=0$).
Ответ: $x = 0$.

в) $3^{\sin^2 x} \le \cos x$

Как и в пункте а), оценим области значений левой и правой частей.
Левая часть: $3^{\sin^2 x} \ge 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Правая часть: $\cos x \le 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Неравенство $3^{\sin^2 x} \le \cos x$ может иметь решение только в случае, если обе его части равны 1.
Это приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} 3^{\sin^2 x} = 1 \\ \cos x = 1 \end{cases}$
Решим первое уравнение: $3^{\sin^2 x} = 3^0 \implies \sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0$. Решениями этого уравнения являются $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Решения второго уравнения $\cos x = 1$ имеют вид $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для нахождения решения неравенства необходимо найти пересечение множеств решений этих двух уравнений. Общими решениями будут $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, так как любое число вида $2\pi k$ также является числом вида $\pi n$ (при $n=2k$).
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{x^2 + 1} \ge \sin x$

Снова оценим значения левой и правой частей неравенства.
Левая часть $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$: мы знаем, что $x^2 \ge 0$, поэтому $x^2+1 \ge 1$ и, следовательно, $\sqrt{x^2+1} \ge 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Правая часть $g(x) = \sin x$: область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $\sin x \le 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Получаем, что $\sqrt{x^2 + 1} \ge 1$, а $\sin x \le 1$.
Так как левая часть неравенства всегда не меньше 1, а правая часть всегда не больше 1, то неравенство $\sqrt{x^2 + 1} \ge \sin x$ выполняется для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x \in \mathbb{R}$.