Номер 28.34, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.34, страница 177.

28.34. a) $9^{x+2} + 4 \cdot 3^{2x+2} \ge 4 \frac{1}{3};$

б) $8^{x-2} + 3 \cdot 2^{3x-2} \le 24 \frac{1}{2}.$

a) $9^{x+2} + 4 \cdot 3^{2x+2} \ge 4\frac{1}{3}$
Преобразуем неравенство, приведя все степени к одному основанию 3.
$9^{x+2} = (3^2)^{x+2} = 3^{2(x+2)} = 3^{2x+4} = 3^{2x} \cdot 3^4 = 81 \cdot 3^{2x}$
$4 \cdot 3^{2x+2} = 4 \cdot 3^{2x} \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 \cdot 3^{2x} = 36 \cdot 3^{2x}$
Представим смешанную дробь в правой части в виде неправильной дроби: $4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$.
Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:
$81 \cdot 3^{2x} + 36 \cdot 3^{2x} \ge \frac{13}{3}$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(81 + 36) \cdot 3^{2x} \ge \frac{13}{3}$
$117 \cdot 3^{2x} \ge \frac{13}{3}$
Разделим обе части неравенства на 117:
$3^{2x} \ge \frac{13}{3 \cdot 117}$
Сократим дробь, учитывая, что $117 = 9 \cdot 13$:
$3^{2x} \ge \frac{13}{3 \cdot 9 \cdot 13}$
$3^{2x} \ge \frac{1}{27}$
Представим правую часть в виде степени с основанием 3:
$3^{2x} \ge 3^{-3}$
Поскольку основание степени $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$2x \ge -3$
$x \ge -\frac{3}{2}$
Ответ: $x \in [-\frac{3}{2}; +\infty)$.

б) $8^{x-2} + 3 \cdot 2^{3x-2} \le 24\frac{1}{2}$
Преобразуем неравенство, приведя все степени к одному основанию 2.
$8^{x-2} = (2^3)^{x-2} = 2^{3(x-2)} = 2^{3x-6}$
Представим смешанную дробь в правой части в виде неправильной дроби: $24\frac{1}{2} = \frac{24 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{49}{2}$.
Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:
$2^{3x-6} + 3 \cdot 2^{3x-2} \le \frac{49}{2}$
Используя свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$, вынесем общий множитель:
$2^{3x} \cdot 2^{-6} + 3 \cdot 2^{3x} \cdot 2^{-2} \le \frac{49}{2}$
$2^{3x} \cdot \frac{1}{64} + 3 \cdot 2^{3x} \cdot \frac{1}{4} \le \frac{49}{2}$
Вынесем $2^{3x}$ за скобки:
$2^{3x} (\frac{1}{64} + \frac{3}{4}) \le \frac{49}{2}$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$2^{3x} (\frac{1}{64} + \frac{48}{64}) \le \frac{49}{2}$
$2^{3x} \cdot \frac{49}{64} \le \frac{49}{2}$
Разделим обе части неравенства на $\frac{49}{64}$ (что эквивалентно умножению на $\frac{64}{49}$):
$2^{3x} \le \frac{49}{2} \cdot \frac{64}{49}$
$2^{3x} \le \frac{64}{2}$
$2^{3x} \le 32$
Представим правую часть в виде степени с основанием 2:
$2^{3x} \le 2^5$
Поскольку основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$3x \le 5$
$x \le \frac{5}{3}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{3}]$.