Номер 28.30, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.30, страница 177.

28.30. a) $ \lg x < \frac{1}{x} - 1; $

б) $ \log_{1,6} x \ge \frac{1}{x} - 1. $

а) $\lg x < \frac{1}{x} - 1$

Для решения данного неравенства воспользуемся функционально-графическим методом. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, $x > 0$. Знаменатель дроби в правой части не должен быть равен нулю, $x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ неравенства: $x \in (0, \infty)$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям неравенства:

$f(x) = \lg x$

$g(x) = \frac{1}{x} - 1$

Проанализируем свойства этих функций на ОДЗ:

• Функция $f(x) = \lg x$ является логарифмической с основанием $10 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей своей области определения $(0, \infty)$.
• Функция $g(x) = \frac{1}{x} - 1$ является убывающей на промежутке $(0, \infty)$.

Найдем точку пересечения графиков этих функций, для чего решим уравнение $f(x) = g(x)$:

$\lg x = \frac{1}{x} - 1$

Это трансцендентное уравнение. Можно заметить, что $x=1$ является его корнем, так как:

$f(1) = \lg 1 = 0$

$g(1) = \frac{1}{1} - 1 = 0$

Поскольку возрастающая функция $f(x)$ и убывающая функция $g(x)$ могут пересечься не более одного раза, $x=1$ является единственным решением уравнения.

Точка пересечения $x=1$ разбивает ОДЗ на два интервала: $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Определим, на каком из них выполняется исходное неравенство $f(x) < g(x)$.

• При $x \in (0, 1)$: $f(x) = \lg x < \lg 1 = 0$ (принимает отрицательные значения). В то же время $g(x) = \frac{1}{x} - 1 > \frac{1}{1} - 1 = 0$ (принимает положительные значения). Таким образом, на этом интервале $f(x) < 0 < g(x)$, и неравенство $f(x) < g(x)$ всегда выполняется.
• При $x \in (1, \infty)$: $f(x) = \lg x > \lg 1 = 0$ (принимает положительные значения). В то же время $g(x) = \frac{1}{x} - 1 < \frac{1}{1} - 1 = 0$ (принимает отрицательные значения). Таким образом, на этом интервале $f(x) > 0 > g(x)$, и неравенство $f(x) < g(x)$ никогда не выполняется.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(0, 1)$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

б) $\log_{1.6} x \geq \frac{1}{x} - 1$

Решим это неравенство аналогично предыдущему, используя функционально-графический метод. ОДЗ неравенства определяется условием $x > 0$, то есть $x \in (0, \infty)$.

Введем две функции:

$f(x) = \log_{1.6} x$

$g(x) = \frac{1}{x} - 1$

Проанализируем их свойства на ОДЗ:

• Функция $f(x) = \log_{1.6} x$ является логарифмической с основанием $1.6 > 1$, следовательно, она строго возрастает на $(0, \infty)$.
• Функция $g(x) = \frac{1}{x} - 1$ является убывающей на $(0, \infty)$.

Найдем точку их пересечения, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$\log_{1.6} x = \frac{1}{x} - 1$

Методом подбора находим корень $x=1$:

$f(1) = \log_{1.6} 1 = 0$

$g(1) = \frac{1}{1} - 1 = 0$

Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, их графики пересекаются только в одной точке $x=1$.

Теперь решим неравенство $f(x) \geq g(x)$.

• При $x \in (0, 1)$: $f(x) = \log_{1.6} x < 0$, а $g(x) = \frac{1}{x} - 1 > 0$. Следовательно, $f(x) < g(x)$, и неравенство не выполняется.
• При $x=1$: $f(1) = 0$ и $g(1) = 0$. Неравенство $0 \geq 0$ верно, значит $x=1$ является решением.
• При $x \in (1, \infty)$: $f(x) = \log_{1.6} x > 0$, а $g(x) = \frac{1}{x} - 1 < 0$. Следовательно, $f(x) > g(x)$, и неравенство выполняется.

Объединяя результаты, получаем, что неравенство выполняется для всех $x \geq 1$.

Ответ: $x \in [1, \infty)$.