Номер 28.37, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.37, страница 178.

Решите неравенство:

28.37. a) $(x - 2)\log_4(x + 2) \ge 0$;

б) $(3 - x)\sqrt{\log_3(x + 5)} \le 0$.

а) $(x - 2)\log_{4}(x + 2) \geq 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x + 2 > 0$
$x > -2$

2. Воспользуемся методом рационализации. Знак выражения $\log_{a}f(x)$ при $a > 1$ совпадает со знаком выражения $f(x)-1$ на области определения логарифма.
В нашем случае $\log_{4}(x+2) = \log_{4}(x+2) - \log_{4}(1)$. Так как основание $4 > 1$, то знак $\log_{4}(x+2)$ совпадает со знаком выражения $(x+2-1)$.
Таким образом, исходное неравенство на его ОДЗ равносильно следующему:
$(x - 2)((x + 2) - 1) \geq 0$
$(x - 2)(x + 1) \geq 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = (x - 2)(x + 1)$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, выражение неотрицательно при $x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$.

4. Учтем ОДЗ ($x > -2$). Найдем пересечение множеств $(-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$ и $(-2, +\infty)$.
Пересечение дает нам итоговое решение: $x \in (-2, -1] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2, -1] \cup [2, +\infty)$.

---

б) $(3 - x)\sqrt{\log_{3}(x + 5)} \leq 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\log_{3}(x + 5) \geq 0$
Так как основание логарифма $3 > 1$, это неравенство равносильно $x + 5 \geq 3^0$, то есть $x + 5 \geq 1$, откуда $x \geq -4$.
(При этом условие положительности аргумента логарифма $x+5>0$ выполняется автоматически, так как $x+5 \ge 1$).
Итак, ОДЗ: $x \in [-4, +\infty)$.

2. Решим неравенство на его ОДЗ.
На всей области определения $x \geq -4$ множитель $\sqrt{\log_{3}(x + 5)}$ является неотрицательным.
Неравенство $(3 - x) \cdot (\text{неотрицательное число}) \leq 0$ выполняется в двух случаях:

Случай 1: Произведение равно нулю.
Это происходит, когда один из множителей равен нулю.
- $\sqrt{\log_{3}(x + 5)} = 0 \implies \log_{3}(x + 5) = 0 \implies x + 5 = 1 \implies x = -4$. Это значение входит в ОДЗ.
- $3 - x = 0 \implies x = 3$. Это значение также входит в ОДЗ ($3 \ge -4$).
Таким образом, $x = -4$ и $x = 3$ являются решениями.

Случай 2: Произведение строго меньше нуля.
Для этого множитель $\sqrt{\log_{3}(x + 5)}$ должен быть строго больше нуля, а множитель $(3 - x)$ — строго меньше нуля.
- $\sqrt{\log_{3}(x + 5)} > 0 \implies \log_{3}(x + 5) > 0 \implies x + 5 > 1 \implies x > -4$.
- $3 - x < 0 \implies x > 3$.
Оба условия должны выполняться одновременно, что дает $x > 3$.

3. Объединим все найденные решения.
Из первого случая имеем $x = -4$ и $x=3$. Из второго — $x > 3$.
Объединяя, получаем: $x=-4$ и $x \geq 3$.

Ответ: $x \in \{-4\} \cup [3, +\infty)$.