Номер 28.31, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.31, страница 177.

28.31. Найдите область определения функции:

a) $y = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{\log_7 (2 - x)};$

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\log_8 (x - 3)}.$

а)

Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{\log_7(2 - x)}$ необходимо учесть три условия, которые должны выполняться одновременно:

1. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным.
2. Аргумент логарифма в знаменателе должен быть строго положительным.
3. Знаменатель не должен быть равен нулю.

Запишем эти условия в виде системы неравенств:

$\begin{cases}9 - x^2 \ge 0, \\2 - x > 0, \\\log_7(2 - x) \ne 0.\end{cases}$

Решим каждое условие системы:

1. $9 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 9$. Это неравенство выполняется при $x$, находящемся между корнями уравнения $x^2 = 9$, то есть $x = -3$ и $x = 3$. Таким образом, $-3 \le x \le 3$, или $x \in [-3, 3]$.

2. $2 - x > 0 \implies 2 > x$, или $x < 2$. В виде интервала это записывается как $x \in (-\infty, 2)$.

3. $\log_7(2 - x) \ne 0$. Логарифм равен нулю, если его аргумент равен 1. Следовательно, $2 - x \ne 1 \implies x \ne 1$.

Теперь найдем пересечение всех полученных решений. Нам нужно найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \in [-3, 3]$, $x < 2$ и $x \ne 1$.

Пересечение интервалов $[-3, 3]$ и $(-\infty, 2)$ дает промежуток $[-3, 2)$.

Из этого промежутка необходимо исключить точку $x=1$.

В результате получаем объединение двух промежутков: от -3 включительно до 1, и от 1 до 2.

Ответ: $[-3, 1) \cup (1, 2)$.

б)

Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\log_8(x - 3)}$ также необходимо выполнить три условия:

1. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным.
2. Аргумент логарифма в знаменателе должен быть строго положительным.
3. Знаменатель не должен быть равен нулю.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 - 4 \ge 0, \\x - 3 > 0, \\\log_8(x - 3) \ne 0.\end{cases}$

Решим каждое условие системы:

1. $x^2 - 4 \ge 0 \implies (x-2)(x+2) \ge 0$. Парабола $y = x^2 - 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 2$. В виде объединения интервалов это $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. $x - 3 > 0 \implies x > 3$. В виде интервала это $x \in (3, \infty)$.

3. $\log_8(x - 3) \ne 0$. Это означает, что аргумент логарифма не должен быть равен 1. Итак, $x - 3 \ne 1 \implies x \ne 4$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$, $x > 3$ и $x \ne 4$.

Пересечение множества $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ с интервалом $(3, \infty)$ дает интервал $(3, \infty)$, так как все числа больше 3 автоматически больше 2.

Теперь из полученного интервала $(3, \infty)$ нужно исключить точку $x=4$.

Это разбивает интервал на две части: от 3 до 4 и от 4 до бесконечности.

Ответ: $(3, 4) \cup (4, \infty)$.