Номер 28.27, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.27, страница 177.

28.27. a) $2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 \le 0;$

б) $\cos^2 x - 5 \cos x + 4 \le 0.$

а) $2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 \le 0$

Данное неравенство является квадратным относительно $\sin x$. Произведем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус есть отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$.

После замены неравенство принимает вид:

$2t^2 - 3t + 1 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $2t^2 - 3t + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1$

Графиком функции $y = 2t^2 - 3t + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $2t^2 - 3t + 1 \le 0$ выполняется при значениях $t$, находящихся между корнями, включая сами корни. То есть, $\frac{1}{2} \le t \le 1$.

Это решение полностью удовлетворяет ранее указанному ограничению $-1 \le t \le 1$.

Теперь выполним обратную замену:

$\frac{1}{2} \le \sin x \le 1$

Решением этого двойного тригонометрического неравенства являются все значения $x$, для которых синус находится в указанном промежутке. На единичной окружности этому условию соответствуют точки дуги от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$. Учитывая периодичность функции синус ($2\pi$), общее решение можно записать в виде интервала.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 x - 5 \cos x + 4 \le 0$

Данное неравенство является квадратным относительно $\cos x$. Произведем замену переменной: пусть $y = \cos x$. Область значений косинуса — отрезок $[-1, 1]$, поэтому $-1 \le y \le 1$.

После замены получаем квадратное неравенство:

$y^2 - 5y + 4 \le 0$

Найдем корни уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Графиком функции $z = y^2 - 5y + 4$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $y^2 - 5y + 4 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $1 \le y \le 4$.

Теперь необходимо совместить полученное решение с ограничением на $y$: $\begin{cases} 1 \le y \le 4 \\ -1 \le y \le 1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является единственное значение $y = 1$.

Выполним обратную замену:

$\cos x = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решениями которого являются точки вида $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.