Номер 28.32, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.32, страница 177.

Решите неравенство:

28.32. a) $x^2 + 1 \geq \cos x;$

в) $x^2 + 1 \leq \cos x;$

б) $\sin x \leq - \left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2 - 1;$

г) $\sin x \geq - \left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2 - 1.$

а) $x^2 + 1 \ge \cos x$
Для решения данного неравенства воспользуемся методом оценки. Рассмотрим левую и правую части неравенства как отдельные функции.
Левая часть: $f(x) = x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то минимальное значение функции $f(x)$ равно $0^2+1=1$. Таким образом, $x^2+1 \ge 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Правая часть: $g(x) = \cos x$. Область значений функции косинус – это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, $\cos x \le 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Мы получили, что левая часть неравенства всегда больше или равна 1, а правая часть всегда меньше или равна 1. То есть, $x^2+1 \ge 1 \ge \cos x$.
Это означает, что неравенство $x^2 + 1 \ge \cos x$ справедливо для любого действительного значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $\sin x \le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$
Применим метод оценки.
Левая часть: $f(x) = \sin x$. Область значений этой функции – отрезок $[-1, 1]$, следовательно, $\sin x \ge -1$.
Правая часть: $g(x) = -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$. Выражение $\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2$ всегда неотрицательно: $\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 \ge 0$. Тогда $-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 \le 0$. Отсюда следует, что $g(x) = -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1 \le -1$. Максимальное значение правой части равно $-1$ и достигается при $x = -\frac{\pi}{2}$.
Неравенство $\sin x \le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$ может выполняться только в том случае, когда обе его части равны, так как левая часть всегда не меньше $-1$, а правая – не больше $-1$. Это возможно только если обе части равны $-1$.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} \sin x = -1 \\ -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1 = -1 \end{cases}$
Из второго уравнения: $-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 = 0 \implies x+\frac{\pi}{2}=0 \implies x = -\frac{\pi}{2}$.
Подставим найденное значение в первое уравнение, чтобы проверить: $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
Условие выполнено. Значит, система имеет единственное решение.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$.

в) $x^2 + 1 \le \cos x$
Используем метод оценки, как в пункте а).
Левая часть: $f(x) = x^2 + 1$. Область значений $[1, +\infty)$, то есть $x^2+1 \ge 1$.
Правая часть: $g(x) = \cos x$. Область значений $[-1, 1]$, то есть $\cos x \le 1$.
Неравенство $x^2 + 1 \le \cos x$ может быть верным только в том случае, если левая часть (которая $\ge 1$) равна правой части (которая $\le 1$). Это возможно только при условии, что обе части одновременно равны 1.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 + 1 = 1 \\ \cos x = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения находим: $x^2 = 0 \implies x = 0$.
Проверяем это значение во втором уравнении: $\cos(0) = 1$.
Условие выполнено. Следовательно, система имеет единственное решение.
Ответ: $x=0$.

г) $\sin x \ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$
Воспользуемся методом оценки, как в пункте б).
Левая часть: $f(x) = \sin x$. Область значений $[-1, 1]$, то есть $\sin x \ge -1$.
Правая часть: $g(x) = -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$. Область значений $(-\infty, -1]$, то есть $-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1 \le -1$.
Таким образом, для любого действительного числа $x$ левая часть неравенства всегда не меньше $-1$, а правая часть всегда не больше $-1$.
Получаем цепочку неравенств: $\sin x \ge -1 \ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$.
Следовательно, неравенство $\sin x \ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$ справедливо для любого действительного значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.