Номер 28.36, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.36, страница 177.

28.36. a) $x^4 - 8x - 6x^3 + 12x^2 \ge 0;$

б) $x^4 + 12x < 13x^2.$

а) $x^4 - 8x - 6x^3 + 12x^2 \ge 0$

Сначала перепишем неравенство, упорядочив члены по убыванию степеней $x$:

$x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 8x \ge 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) \ge 0$

Выражение в скобках является полным кубом разности. Вспомним формулу: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Если взять $a=x$ и $b=2$, то получим:

$(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

Таким образом, наше неравенство принимает вид:

$x(x-2)^3 \ge 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни левой части:

$x = 0$ и $(x-2)^3 = 0 \implies x = 2$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, \infty)$. Определим знак выражения $x(x-2)^3$ в каждом интервале.

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $3(3-2)^3 = 3 \cdot 1^3 = 3 > 0$. Знак «+».
• При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $1(1-2)^3 = 1 \cdot (-1)^3 = -1 < 0$. Знак «-».
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $-1(-1-2)^3 = -1 \cdot (-3)^3 = 27 > 0$. Знак «+».

Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. Это выполняется в интервалах, где стоит знак «+», а также в точках, где выражение равно нулю ($x=0$ и $x=2$).

Следовательно, решение неравенства есть объединение промежутков $(-\infty, 0]$ и $[2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

б) $x^4 + 12x < 13x^2$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$x^4 - 13x^2 + 12x < 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^3 - 13x + 12) < 0$

Теперь нужно разложить на множители кубический многочлен $P(x) = x^3 - 13x + 12$. Попробуем найти его целочисленные корни среди делителей свободного члена 12: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Проверим $x=1$: $P(1) = 1^3 - 13(1) + 12 = 1 - 13 + 12 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем, а $(x-1)$ — одним из множителей.

Разделим многочлен $x^3 - 13x + 12$ на $(x-1)$ (например, столбиком или по схеме Горнера), чтобы найти остальные множители.

$(x^3 - 13x + 12) : (x-1) = x^2 + x - 12$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 12$. Его корни можно найти по теореме Виета: произведение корней равно -12, а сумма равна -1. Это числа -4 и 3. Таким образом,

$x^2 + x - 12 = (x - (-4))(x - 3) = (x+4)(x-3)$.

Итак, исходное неравенство можно переписать в виде:

$x(x-1)(x+4)(x-3) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x=-4, x=0, x=1, x=3$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают ее на пять интервалов: $(-\infty, -4)$, $(-4, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$ и $(3, \infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале.

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $4(4-1)(4+4)(4-3) > 0$. Знак «+».
• Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в интервалах будут чередоваться.
• Интервал $(1, 3)$: знак «-».
• Интервал $(0, 1)$: знак «+».
• Интервал $(-4, 0)$: знак «-».
• Интервал $(-\infty, -4)$: знак «+».

Нам нужно, чтобы выражение было строго меньше нуля (знак «-»). Это соответствует интервалам $(-4, 0)$ и $(1, 3)$. Так как неравенство строгое, концы интервалов не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-4, 0) \cup (1, 3)$.