Номер 28.38, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.38, страница 178.

28.38. a) $(x - 3,1)\ln (x^2 - 10x + 22) \ge 0;$

б) $(x - 7,3)\ln (x^2 - 8x + 8) \le 0.$

а) $(x - 3,1)\ln(x^2 - 10x + 22) \ge 0$

Решим данное логарифмическое неравенство методом декомпозиции (обобщенным методом интервалов). Произведение двух множителей неотрицательно, когда они оба одного знака или один из множителей равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 10x + 22 > 0$

Для нахождения корней соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 10x + 22 = 0$ вычислим дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 100 - 88 = 12$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 5 \pm \sqrt{3}$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 10x + 22 > 0$ выполняется при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty; 5 - \sqrt{3}) \cup (5 + \sqrt{3}; +\infty)$.

2. Неравенство равносильно совокупности двух систем на ОДЗ:

Первая система (оба множителя неотрицательны):

$\begin{cases} x - 3,1 \ge 0 \\ \ln(x^2 - 10x + 22) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3,1 \\ x^2 - 10x + 22 \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3,1 \\ x^2 - 10x + 21 \ge 0 \end{cases}$

Корнями уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$ являются $x_1=3$ и $x_2=7$. Решением неравенства $x^2 - 10x + 21 \ge 0$ является $x \in (-\infty; 3] \cup [7; +\infty)$.

Пересечение решений системы дает: $\begin{cases} x \ge 3,1 \\ x \in (-\infty; 3] \cup [7; +\infty) \end{cases} \implies x \in [7; +\infty)$.

Данное решение полностью входит в ОДЗ, так как $7 > 5 + \sqrt{3}$ (поскольку $2 > \sqrt{3}$).

Вторая система (оба множителя неположительны):

$\begin{cases} x - 3,1 \le 0 \\ \ln(x^2 - 10x + 22) \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 3,1 \\ 0 < x^2 - 10x + 22 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 3,1 \\ x^2 - 10x + 21 \le 0 \end{cases}$

Решением неравенства $x^2 - 10x + 21 \le 0$ является $x \in [3; 7]$.

Пересечение решений системы дает: $\begin{cases} x \le 3,1 \\ x \in [3; 7] \end{cases} \implies x \in [3; 3,1]$.

Данное решение полностью входит в ОДЗ, так как $3,1 < 5 - \sqrt{3}$ (поскольку $5 - 3,1 = 1,9 = \sqrt{3,61}$, а $\sqrt{3,61} > \sqrt{3}$).

3. Объединяем решения, полученные в двух случаях.

Общее решение: $x \in [3; 3,1] \cup [7; +\infty)$.

Ответ: $x \in [3; 3,1] \cup [7; +\infty)$.

---

б) $(x - 7,3)\ln(x^2 - 8x + 8) \le 0$

Решим неравенство. Произведение двух множителей неположительно, когда они имеют разные знаки или один из множителей равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x^2 - 8x + 8 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 8 = 0$ через дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 64 - 32 = 32$

Корни: $x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому ОДЗ: $x \in (-\infty; 4 - 2\sqrt{2}) \cup (4 + 2\sqrt{2}; +\infty)$.

2. Неравенство равносильно совокупности двух систем на ОДЗ:

Первая система (множители разных знаков):

$\begin{cases} x - 7,3 \le 0 \\ \ln(x^2 - 8x + 8) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 7,3 \\ x^2 - 8x + 8 \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 7,3 \\ x^2 - 8x + 7 \ge 0 \end{cases}$

Корнями уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$ являются $x_1=1$ и $x_2=7$. Решением неравенства $x^2 - 8x + 7 \ge 0$ является $x \in (-\infty; 1] \cup [7; +\infty)$.

Пересечение решений системы дает: $\begin{cases} x \le 7,3 \\ x \in (-\infty; 1] \cup [7; +\infty) \end{cases} \implies x \in (-\infty; 1] \cup [7; 7,3]$.

Проверим полученные интервалы по ОДЗ: $4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2 \cdot 1,41 = 1,18$ и $4 + 2\sqrt{2} \approx 4 + 2,82 = 6,82$.

Интервал $(-\infty; 1]$ полностью входит в ОДЗ, так как $1 < 1,18$.

Интервал $[7; 7,3]$ полностью входит в ОДЗ, так как $7 > 6,82$.

Следовательно, решение в этом случае: $x \in (-\infty; 1] \cup [7; 7,3]$.

Вторая система (множители разных знаков):

$\begin{cases} x - 7,3 \ge 0 \\ \ln(x^2 - 8x + 8) \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 7,3 \\ 0 < x^2 - 8x + 8 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 7,3 \\ x^2 - 8x + 7 \le 0 \end{cases}$

Решением неравенства $x^2 - 8x + 7 \le 0$ является $x \in [1; 7]$.

Система $\begin{cases} x \ge 7,3 \\ x \in [1; 7] \end{cases}$ не имеет решений, так как множества $[7,3; +\infty)$ и $[1; 7]$ не пересекаются.

3. Решение исходного неравенства является решением, полученным в первом случае.

Общее решение: $x \in (-\infty; 1] \cup [7; 7,3]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [7; 7,3]$.