Номер 28.43, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.43, страница 178.

28.43. a) $(x^2 - 2x)(\tan^2 x + 2^x + 1) \le 0;$

б) $(x^2 + 4x)(\cot^2 x + 3^x - 1) \le 0.$

а)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 2x)(\text{tg}^2 x + 2^x + 1) \le 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение содержит $\text{tg} x$, поэтому $\cos x \ne 0$, что означает $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$ для любого целого $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второй множитель в неравенстве: $(\text{tg}^2 x + 2^x + 1)$.

Для любого $x$ из ОДЗ выполняются следующие условия:

• Квадрат тангенса всегда неотрицателен: $\text{tg}^2 x \ge 0$.
• Показательная функция всегда положительна: $2^x > 0$.

Таким образом, сумма $\text{tg}^2 x + 2^x + 1$ всегда будет строго положительной, так как она является суммой неотрицательного числа и числа, которое больше 1 (поскольку $2^x+1>1$).

Поскольку второй множитель $(\text{tg}^2 x + 2^x + 1)$ всегда положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак неравенства:

$x^2 - 2x \le 0$

Разложим левую часть на множители:

$x(x - 2) \le 0$

Решением этого квадратного неравенства является отрезок $[0, 2]$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, то есть исключить из отрезка $[0, 2]$ точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, какие значения $n$ дают точки, попадающие в отрезок $[0, 2]$:

• При $n=0$: $x = \frac{\pi}{2}$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем $x \approx 1.57$. Это значение находится внутри отрезка $[0, 2]$.
• При $n=1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} > 2$.
• При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} < 0$.

Следовательно, из отрезка $[0, 2]$ нужно исключить только одну точку: $x = \frac{\pi}{2}$.

В итоге решение представляет собой объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, 2]$.

б)

Рассмотрим неравенство $(x^2 + 4x)(\text{ctg}^2 x + 3^{x-1}) \le 0$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение содержит $\text{ctg} x$, поэтому $\sin x \ne 0$, что означает $x \ne \pi n$ для любого целого $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второй множитель: $(\text{ctg}^2 x + 3^{x-1})$.

Для любого $x$ из ОДЗ выполняются следующие условия:

• Квадрат котангенса всегда неотрицателен: $\text{ctg}^2 x \ge 0$.
• Показательная функция всегда положительна: $3^{x-1} > 0$.

Сумма неотрицательного и положительного числа всегда строго положительна. Следовательно, множитель $(\text{ctg}^2 x + 3^{x-1})$ всегда больше нуля.

Так как второй множитель всегда положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя его знака:

$x^2 + 4x \le 0$

Разложим левую часть на множители:

$x(x + 4) \le 0$

Решением этого квадратного неравенства является отрезок $[-4, 0]$.

Теперь учтем ОДЗ, исключив из отрезка $[-4, 0]$ точки вида $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, какие значения $n$ дают точки, попадающие в отрезок $[-4, 0]$:

• При $n=0$: $x = 0$. Эта точка является правой границей отрезка.
• При $n=-1$: $x = -\pi$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем $x \approx -3.14$. Это значение находится внутри отрезка $[-4, 0]$.
• При $n=-2$: $x = -2\pi \approx -6.28$, что меньше, чем -4, и не попадает в отрезок.

Таким образом, из отрезка $[-4, 0]$ необходимо исключить точки $x=0$ и $x=-\pi$.

В итоге решение представляет собой объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in [-4, -\pi) \cup (-\pi, 0)$.