Номер 28.46, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.46, страница 179.

28.46. a) $( \frac{1}{7} )^{5 - 2x} > 7^{-2x + 11};$

б) $0,3^{\sqrt{5x - 1} - 2} \le 1;$

В) $(3^{-1})^{\sin x - \cos 2x} < 3^{\cos 2x - 0,5};$

Г) $10^{\ln (x - 2)} \cdot 0,1 \ge (10^{-1})^{\ln (x + 2)}.$

а) $(\frac{1}{7})^{5-2x} > 7^{-2x+11}$

Приведем обе части неравенства к основанию 7. Так как $\frac{1}{7} = 7^{-1}$, левую часть можно переписать:

$(7^{-1})^{5-2x} > 7^{-2x+11}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$7^{-1(5-2x)} > 7^{-2x+11}$

$7^{-5+2x} > 7^{-2x+11}$

Так как основание степени $7 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$-5+2x > -2x+11$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$2x+2x > 11+5$

$4x > 16$

$x > 4$

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

б) $0,3^{\sqrt{5x-1}-2} \le 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$5x-1 \ge 0$

$5x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{5}$

Теперь решим само неравенство. Представим 1 как $0,3^0$:

$0,3^{\sqrt{5x-1}-2} \le 0,3^0$

Так как основание степени $0,3 < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:

$\sqrt{5x-1}-2 \ge 0$

$\sqrt{5x-1} \ge 2$

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$5x-1 \ge 4$

$5x \ge 5$

$x \ge 1$

Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x \ge \frac{1}{5}$), получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

в) $(3^{-1})^{\sin x - \cos 2x} < 3^{\cos 2x - 0,5}$

Упростим левую часть неравенства:

$3^{-(\sin x - \cos 2x)} < 3^{\cos 2x - 0,5}$

$3^{-\sin x + \cos 2x} < 3^{\cos 2x - 0,5}$

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$-\sin x + \cos 2x < \cos 2x - 0,5$

Вычтем $\cos 2x$ из обеих частей:

$-\sin x < -0,5$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\sin x > 0,5$

Решением этого тригонометрического неравенства является интервал, концы которого находятся из уравнения $\sin x = 0,5$. Корни этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, решение неравенства $\sin x > 0,5$ имеет вид:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $10^{\ln(x-2)} \cdot 0,1 \ge (10^{-1})^{\ln(x+2)}$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -2 \end{cases} \implies x > 2$

Преобразуем неравенство. Представим $0,1$ как $10^{-1}$:

$10^{\ln(x-2)} \cdot 10^{-1} \ge 10^{-\ln(x+2)}$

Используя свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$10^{\ln(x-2) - 1} \ge 10^{-\ln(x+2)}$

Так как основание степени $10 > 1$, то знак неравенства для показателей сохраняется:

$\ln(x-2) - 1 \ge -\ln(x+2)$

$\ln(x-2) + \ln(x+2) \ge 1$

Используя свойство логарифмов $\ln a + \ln b = \ln(ab)$, получаем:

$\ln((x-2)(x+2)) \ge 1$

$\ln(x^2-4) \ge 1$

Представим 1 как $\ln e$:

$\ln(x^2-4) \ge \ln e$

Так как функция $y = \ln t$ возрастающая, то:

$x^2-4 \ge e$

$x^2 \ge e+4$

Это неравенство равносильно совокупности $x \ge \sqrt{e+4}$ или $x \le -\sqrt{e+4}$.

Учитывая ОДЗ ($x > 2$), отбрасываем решение $x \le -\sqrt{e+4}$, так как $\sqrt{e+4} > \sqrt{4} = 2$, и значит $-\sqrt{e+4} < -2$.

Остается решение $x \ge \sqrt{e+4}$. Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\sqrt{e+4} > 2$.

Ответ: $x \in [\sqrt{e+4}; +\infty)$.