Номер 28.47, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.47, страница 179.

28.47. a) $lg (0,2^x - 5) < log_{0,1} (95 - 3 \cdot 0,2^x)^{-1}$;

б) $log_{0,1} (3\sqrt{3x+1} - 2) > 0,25 \cdot log_{0,1} \sqrt{3x+1} \cdot lg (0,1^{-8})$.

а) $\lg(0,2^x - 5) < \log_{0,1}(95 - 3 \cdot 0,2^x)^{-1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} 0,2^x - 5 > 0 \\ (95 - 3 \cdot 0,2^x)^{-1} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0,2^x > 5 \\ 95 - 3 \cdot 0,2^x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0,2^x > 5 \\ 95 > 3 \cdot 0,2^x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0,2^x > 5 \\ 0,2^x < \frac{95}{3} \end{cases}$

Преобразуем правую часть неравенства, используя свойства логарифмов: $\log_{0,1} y = \log_{10^{-1}} y = -\lg y$ и $\log_a b^p = p \log_a b$.

$\log_{0,1}(95 - 3 \cdot 0,2^x)^{-1} = -1 \cdot \log_{0,1}(95 - 3 \cdot 0,2^x) = -1 \cdot (-\lg(95 - 3 \cdot 0,2^x)) = \lg(95 - 3 \cdot 0,2^x)$.

Исходное неравенство принимает вид:

$\lg(0,2^x - 5) < \lg(95 - 3 \cdot 0,2^x)$

Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция $y = \lg t$ является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для аргументов, сохранив знак неравенства:

$0,2^x - 5 < 95 - 3 \cdot 0,2^x$

Введем замену $t = 0,2^x$. С учетом ОДЗ, $5 < t < \frac{95}{3}$.

Неравенство для $t$:

$t - 5 < 95 - 3t$

$4t < 100$

$t < 25$

Объединим полученное решение с ОДЗ для $t$:

$\begin{cases} t < 25 \\ 5 < t < \frac{95}{3} \end{cases}$

Так как $\frac{95}{3} = 31\frac{2}{3} > 25$, то решением системы является $5 < t < 25$.

Вернемся к переменной $x$:

$5 < 0,2^x < 25$

Представим числа в виде степеней с основанием 5, учитывая, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$:

$5^1 < (5^{-1})^x < 5^2$

$5^1 < 5^{-x} < 5^2$

Так как основание степени $5 > 1$, функция $y = 5^z$ возрастающая. Переходим к неравенству для показателей степеней:

$1 < -x < 2$

Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-1 > x > -2$

Что эквивалентно $-2 < x < -1$.

Ответ: $x \in (-2; -1)$.

б) $\log_{0,1}(3\sqrt{3x+1} - 2) > 0,25 \cdot \log_{0,1}\sqrt{3x+1} \cdot \lg(0,1^{-8})$

Сначала упростим правую часть неравенства. Вычислим $\lg(0,1^{-8})$:

$\lg(0,1^{-8}) = \lg((10^{-1})^{-8}) = \lg(10^8) = 8 \cdot \lg 10 = 8 \cdot 1 = 8$.

Теперь правая часть выглядит так:

$0,25 \cdot \log_{0,1}\sqrt{3x+1} \cdot 8 = 2 \cdot \log_{0,1}\sqrt{3x+1} = \log_{0,1}(\sqrt{3x+1})^2 = \log_{0,1}(3x+1)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{0,1}(3\sqrt{3x+1} - 2) > \log_{0,1}(3x+1)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x+1 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение)} \\ 3\sqrt{3x+1} - 2 > 0 & \text{(аргумент первого логарифма)} \\ 3x+1 > 0 & \text{(аргумент второго логарифма)} \end{cases}$

Из второго неравенства: $3\sqrt{3x+1} > 2 \Rightarrow \sqrt{3x+1} > \frac{2}{3}$. Возведя в квадрат обе части, получаем $3x+1 > \frac{4}{9}$, откуда $3x > -\frac{5}{9}$, то есть $x > -\frac{5}{27}$. Это условие является самым сильным и включает в себя остальные ($x > -\frac{1}{3}$). Итак, ОДЗ: $x > -\frac{5}{27}$.

Так как основание логарифма $0,1 < 1$, функция $y = \log_{0,1}t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$3\sqrt{3x+1} - 2 < 3x+1$

Введем замену $y = \sqrt{3x+1}$. Из ОДЗ ($x > -\frac{5}{27}$) следует, что $\sqrt{3x+1} > \frac{2}{3}$, то есть $y > \frac{2}{3}$.

Также имеем $y^2 = 3x+1$. Неравенство для $y$:

$3y - 2 < y^2$

$y^2 - 3y + 2 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $y^2 - 3y + 2 = 0$. По теореме Виета, $y_1=1$, $y_2=2$.

Решением неравенства $y^2 - 3y + 2 > 0$ является $y \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

Учитывая ограничение $y > \frac{2}{3}$, получаем два промежутка для $y$:

$\frac{2}{3} < y < 1$ или $y > 2$.

Вернемся к переменной $x$:

1) $\frac{2}{3} < \sqrt{3x+1} < 1$. Возводим в квадрат:

$\frac{4}{9} < 3x+1 < 1$

$\frac{4}{9} - 1 < 3x < 1 - 1$

$-\frac{5}{9} < 3x < 0$

$-\frac{5}{27} < x < 0$

2) $\sqrt{3x+1} > 2$. Возводим в квадрат:

$3x+1 > 4$

$3x > 3$

$x > 1$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{27}; 0) \cup (1; +\infty)$.