Номер 28.45, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.45, страница 178.

28.45. а) $(\sin^2 x + 1)(\lg (2x - 3) - 2) \le 0;$

б) $(\sqrt{6x - 1} + 5)(5^{x^2 - 1} - 0.2) > 0;$

в) $\cos x(2^{x+3} + 3x - 7) \ge 0;$

г) $(2 - \sqrt{3x + 1}) (\log^2_{0.5} (3x - 6) + 2) < 0.$

а)

Решим неравенство $(\sin^2 x + 1)(\lg(2x - 3) - 2) \le 0$.
Первый множитель $(\sin^2 x + 1)$ всегда положителен. Это следует из того, что область значений функции синус $[-1, 1]$, значит $\sin^2 x$ принимает значения от 0 до 1, а выражение $\sin^2 x + 1$ принимает значения от 1 до 2. Поскольку $(\sin^2 x + 1) > 0$ для любого значения $x$, мы можем разделить обе части неравенства на этот множитель, не меняя знака неравенства: $\lg(2x - 3) - 2 \le 0$.
При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент логарифма должен быть строго положителен.
$2x - 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > 1,5$.
Теперь решим упрощенное неравенство:
$\lg(2x - 3) \le 2$
По определению десятичного логарифма ($\lg a = \log_{10} a$), представим 2 как $\lg 10^2 = \lg 100$.
$\lg(2x - 3) \le \lg 100$
Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$2x - 3 \le 100$
$2x \le 103$
$x \le 51,5$.
Объединим полученное решение с ОДЗ ($x > 1,5$): $1,5 < x \le 51,5$.
Таким образом, решение неравенства есть промежуток $(1,5; 51,5]$.

Ответ: $x \in (1,5; 51,5]$.

б)

Решим неравенство $(\sqrt{6x - 1} + 5)(5^{x^2 - 1} - 0,2) > 0$.
Рассмотрим первый множитель $(\sqrt{6x - 1} + 5)$.
ОДЗ для квадратного корня: $6x - 1 \ge 0 \implies 6x \ge 1 \implies x \ge 1/6$.
На всей ОДЗ выражение $\sqrt{6x - 1} \ge 0$, следовательно $\sqrt{6x - 1} + 5 \ge 5$.
Значит, первый множитель всегда положителен.
Разделим обе части неравенства на положительный множитель $(\sqrt{6x - 1} + 5)$:
$5^{x^2 - 1} - 0,2 > 0$
$5^{x^2 - 1} > 0,2$
Представим 0,2 в виде степени с основанием 5: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
$5^{x^2 - 1} > 5^{-1}$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей, и при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 1 > -1$
$x^2 > 0$
Это неравенство верно для всех действительных $x$, кроме $x = 0$.
Теперь учтем ОДЗ, найденную ранее: $x \ge 1/6$.
Пересечением решений $x \ge 1/6$ и $x \neq 0$ является промежуток $[1/6; +\infty)$, так как точка $x=0$ не входит в этот промежуток.

Ответ: $x \in [1/6; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $\cos x(2^{x+3} + 3^{x-7}) \ge 0$.
Рассмотрим второй множитель $(2^{x+3} + 3^{x-7})$.
Выражения $2^{x+3}$ и $3^{x-7}$ являются показательными функциями, которые всегда принимают только положительные значения ($2^{x+3} > 0$ и $3^{x-7} > 0$ для любого $x$).
Сумма двух положительных чисел также всегда положительна, поэтому $(2^{x+3} + 3^{x-7}) > 0$.
Разделим обе части неравенства на этот положительный множитель, сохранив знак неравенства:
$\cos x \ge 0$
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства являются значения $x$, для которых косинус неотрицателен. Это происходит, когда угол $x$ находится в I и IV координатных четвертях.
На единичной окружности это соответствует дуге от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$.
С учетом периодичности функции косинуса, общее решение неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $(2 - \sqrt{3x + 1})(\log^2_{0,5}(3x - 6) + 2) < 0$.
Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным, а подкоренное выражение — неотрицательным.
1) $3x - 6 > 0 \implies 3x > 6 \implies x > 2$.
2) $3x + 1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -1/3$.
Пересечением этих двух условий является $x > 2$.
Рассмотрим второй множитель $(\log^2_{0,5}(3x - 6) + 2)$.
Выражение $\log^2_{0,5}(3x - 6)$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $\log^2_{0,5}(3x - 6) \ge 0$.
Следовательно, $\log^2_{0,5}(3x - 6) + 2 \ge 2$, то есть второй множитель всегда строго положителен.
Разделим обе части исходного неравенства на этот положительный множитель:
$2 - \sqrt{3x + 1} < 0$
$2 < \sqrt{3x + 1}$
Обе части неравенства положительны (на ОДЗ $x>2$ корень $\sqrt{3x+1} > \sqrt{3\cdot2+1} = \sqrt{7} > 2$), поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$4 < 3x + 1$
$3 < 3x$
$x > 1$
Найдем пересечение полученного решения $x > 1$ с ОДЗ $x > 2$.
Итоговым решением является промежуток $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.