Номер 28.44, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.44, страница 178.

28.44. a) $\frac{\sqrt{2x+4}}{2^x-3} \ge \frac{\sqrt{2x+4}}{7^x-3}$;

б) $\frac{\sqrt{7+6x}}{0,2^{x+1}} \le \frac{\sqrt{7+6x}}{0,3^{x+1}}$.

а)

Исходное неравенство:

$\frac{\sqrt{2x+4}}{2^x-3} \ge \frac{\sqrt{2x+4}}{7^x-3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатели дробей не должны равняться нулю.

$ \begin{cases} 2x+4 \ge 0 \\ 2^x-3 \ne 0 \\ 7^x-3 \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ 2^x \ne 3 \\ 7^x \ne 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ne \log_2 3 \\ x \ne \log_7 3 \end{cases} $

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{\sqrt{2x+4}}{2^x-3} - \frac{\sqrt{2x+4}}{7^x-3} \ge 0$

Вынесем общий множитель $\sqrt{2x+4}$ за скобки:

$\sqrt{2x+4} \left( \frac{1}{2^x-3} - \frac{1}{7^x-3} \right) \ge 0$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\sqrt{2x+4} \left( \frac{7^x-3 - (2^x-3)}{(2^x-3)(7^x-3)} \right) \ge 0$

$\sqrt{2x+4} \cdot \frac{7^x - 2^x}{(2^x-3)(7^x-3)} \ge 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{2x+4} = 0$.

Это равенство выполняется при $2x+4=0$, то есть $x=-2$. Это значение входит в ОДЗ ($ -2 \ge -2 $), и знаменатели при $x=-2$ не равны нулю. При $x=-2$ неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$. Следовательно, $x=-2$ является решением.

Случай 2: $\sqrt{2x+4} > 0$.

Это условие выполняется при $x > -2$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{2x+4}$:

$\frac{7^x - 2^x}{(2^x-3)(7^x-3)} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателей:

1. $7^x - 2^x = 0 \implies 7^x = 2^x \implies (\frac{7}{2})^x = 1 \implies x=0$.

2. $2^x - 3 = 0 \implies 2^x = 3 \implies x=\log_2 3$.

3. $7^x - 3 = 0 \implies 7^x = 3 \implies x=\log_7 3$.

Расположим эти точки на числовой оси, учитывая, что $0 < \log_7 3 < 1$ и $1 < \log_2 3 < 2$. Порядок точек: $0, \log_7 3, \log_2 3$.

Определим знаки выражения на полученных интервалах:

• При $x > \log_2 3$ (например, $x=2$): $\frac{7^2-2^2}{(2^2-3)(7^2-3)} = \frac{+}{(+)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $\log_7 3 < x < \log_2 3$ (например, $x=1$): $\frac{7^1-2^1}{(2^1-3)(7^1-3)} = \frac{+}{(-)(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $0 < x < \log_7 3$ (например, $x=0.5$): $\frac{7^{0.5}-2^{0.5}}{(2^{0.5}-3)(7^{0.5}-3)} = \frac{+}{(-)(-)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{7^{-1}-2^{-1}}{(2^{-1}-3)(7^{-1}-3)} = \frac{-}{(-)(-)} < 0$. Интервал не подходит.

Решением для второго случая ($x > -2$) является объединение промежутков, где выражение неотрицательно: $x \in [0, \log_7 3) \cup (\log_2 3, \infty)$. Точка $x=0$ включена, так как неравенство нестрогое, а точки $\log_7 3$ и $\log_2 3$ исключены, так как они обращают знаменатель в ноль.

Объединим решения из обоих случаев: $x=-2$ и $x \in [0, \log_7 3) \cup (\log_2 3, \infty)$. Все эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [0, \log_7 3) \cup (\log_2 3, \infty)$.

б)

Исходное неравенство:

$\frac{\sqrt{7+6x}}{0,2^{x+1}} \le \frac{\sqrt{7+6x}}{0,3^{x+1}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$7+6x \ge 0 \implies 6x \ge -7 \implies x \ge -\frac{7}{6}$.

Знаменатели $0,2^{x+1}$ и $0,3^{x+1}$ являются показательными функциями с положительным основанием, поэтому они всегда положительны и не равны нулю.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{\sqrt{7+6x}}{0,2^{x+1}} - \frac{\sqrt{7+6x}}{0,3^{x+1}} \le 0$

Вынесем общий множитель $\sqrt{7+6x}$ за скобки:

$\sqrt{7+6x} \left( \frac{1}{0,2^{x+1}} - \frac{1}{0,3^{x+1}} \right) \le 0$

Преобразуем выражение в скобках, учитывая, что $0,2 = \frac{1}{5}$ и $0,3 = \frac{3}{10}$:

$\sqrt{7+6x} \left( \left(\frac{1}{0,2}\right)^{x+1} - \left(\frac{1}{0,3}\right)^{x+1} \right) \le 0$

$\sqrt{7+6x} \left( 5^{x+1} - \left(\frac{10}{3}\right)^{x+1} \right) \le 0$

Произведение двух множителей неположительно. Первый множитель $\sqrt{7+6x}$ всегда неотрицателен в своей области определения.

Следовательно, неравенство выполняется в двух случаях:

1. Первый множитель равен нулю: $\sqrt{7+6x}=0 \implies x = -\frac{7}{6}$. Это значение входит в ОДЗ, поэтому является решением.

2. Первый множитель строго положителен ($\sqrt{7+6x}>0$, т.е. $x > -\frac{7}{6}$), а второй множитель неположителен:

$5^{x+1} - \left(\frac{10}{3}\right)^{x+1} \le 0$

$5^{x+1} \le \left(\frac{10}{3}\right)^{x+1}$

Разделим обе части на $\left(\frac{10}{3}\right)^{x+1} > 0$:

$\frac{5^{x+1}}{(\frac{10}{3})^{x+1}} \le 1$

$\left(\frac{5 \cdot 3}{10}\right)^{x+1} \le 1$

$\left(\frac{3}{2}\right)^{x+1} \le 1$

Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция является возрастающей. Неравенство для степеней равносильно неравенству для показателей:

$x+1 \le 0 \implies x \le -1$.

Объединим результат $x \le -1$ с условием этого случая $x > -\frac{7}{6}$. Так как $-\frac{7}{6} \approx -1,17$, получаем интервал $x \in (-\frac{7}{6}, -1]$.

Теперь объединим решения из обоих случаев: $x = -\frac{7}{6}$ и $x \in (-\frac{7}{6}, -1]$.

Итоговое решение: $x \in [-\frac{7}{6}, -1]$.

Ответ: $x \in [-\frac{7}{6}, -1]$.