Номер 28.51, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.51, страница 179.

28.51. $(12x^3 - 16x^2 - 7x + 6)(\log_{\frac{1}{3}}(4 - 2x) + \log_3(x + 2)) > 0.$

Решим данное неравенство, используя метод интервалов. Неравенство имеет вид $f(x) \cdot g(x) > 0$, где $f(x) = 12x^3 - 16x^2 - 7x + 6$ и $g(x) = \log_{\frac{1}{3}}(4-2x) + \log_3(x+2)$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Найдём ОДЗ, исходя из того, что выражения под знаками логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 4 - 2x > 0 \\ x + 2 > 0\end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} 4 > 2x \\ x > -2\end{cases}\implies\begin{cases} x < 2 \\ x > -2\end{cases}$

Таким образом, ОДЗ неравенства: $x \in (-2; 2)$.

2. Анализ сомножителей

Рассмотрим каждый сомножитель отдельно и найдём его нули.

Первый сомножитель: $f(x) = 12x^3 - 16x^2 - 7x + 6$

Найдём корни уравнения $12x^3 - 16x^2 - 7x + 6 = 0$. Попробуем найти рациональные корни среди делителей свободного члена, делённых на делители старшего коэффициента. Подходит корень $x = \frac{1}{2}$:

$12(\frac{1}{2})^3 - 16(\frac{1}{2})^2 - 7(\frac{1}{2}) + 6 = 12 \cdot \frac{1}{8} - 16 \cdot \frac{1}{4} - \frac{7}{2} + 6 = \frac{3}{2} - 4 - \frac{7}{2} + 6 = \frac{3-7}{2} + 2 = -2 + 2 = 0$.

Разделим многочлен на $(2x-1)$:

$(12x^3 - 16x^2 - 7x + 6) \div (2x - 1) = 6x^2 - 5x - 6$.

Найдём корни квадратного уравнения $6x^2 - 5x - 6 = 0$ через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 13}{12}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{5+13}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ и $x_2 = \frac{5-13}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$.

Нули первого сомножителя: $x = -\frac{2}{3}$, $x = \frac{1}{2}$, $x = \frac{3}{2}$. Все эти корни входят в ОДЗ.

Второй сомножитель: $g(x) = \log_{\frac{1}{3}}(4-2x) + \log_3(x+2)$

Упростим выражение, приведя логарифмы к одному основанию 3:

$\log_{\frac{1}{3}}(4-2x) = \log_{3^{-1}}(4-2x) = -1 \cdot \log_3(4-2x) = -\log_3(4-2x)$.

Тогда $g(x) = \log_3(x+2) - \log_3(4-2x) = \log_3\left(\frac{x+2}{4-2x}\right)$.

Найдём нули второго сомножителя:

$\log_3\left(\frac{x+2}{4-2x}\right) = 0$

$\frac{x+2}{4-2x} = 3^0 = 1$

$x+2 = 4-2x$

$3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.

Нуль второго сомножителя: $x = \frac{2}{3}$. Этот корень также входит в ОДЗ.

3. Решение методом интервалов

Нанесём на числовую ось точки, в которых сомножители обращаются в ноль: $-\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{2}$. Эти точки разбивают ОДЗ $(-2; 2)$ на следующие интервалы: $(-2; -\frac{2}{3})$, $(-\frac{2}{3}; \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; \frac{3}{2})$, $(\frac{3}{2}; 2)$.

Определим знаки сомножителей $f(x)$ и $g(x)$ на каждом интервале.

Интервал	Знак $f(x)$	Знак $g(x)$	Знак $f(x) \cdot g(x)$
$(-2; -\frac{2}{3})$	$-$	$-$	$+$
$(-\frac{2}{3}; \frac{1}{2})$	$+$	$-$	$-$
$(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$	$-$	$-$	$+$
$(\frac{2}{3}; \frac{3}{2})$	$-$	$+$	$-$
$(\frac{3}{2}; 2)$	$+$	$+$	$+$

Произведение $f(x) \cdot g(x)$ больше нуля там, где знаки сомножителей совпадают (оба положительны или оба отрицательны). Согласно таблице, это происходит на интервалах $(-2; -\frac{2}{3})$, $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ и $(\frac{3}{2}; 2)$.

Объединение этих интервалов и является решением исходного неравенства.

Ответ: $x \in (-2; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{2}{3}) \cup (\frac{3}{2}; 2)$.