Номер 28.57, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.57, страница 180.

Решите неравенство:

28.57. a) $\frac{(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^3 + x^2 + x) - 3x^2}{10x^2 - 17x - 6} \ge 0;$

б) $\frac{(x^2 - x - 1)^2 - 2(x^3 - x^2 - x) - 3x^2}{10x^4 - 43x^3 - 9x^2} \le 0.$

a)

Решим неравенство $ \frac{(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^3 + x^2 + x) - 3x^2}{10x^2 - 17x - 6} \ge 0 $.

Сначала преобразуем числитель дроби. Заметим, что $x^3 + x^2 + x = x(x^2 + x + 1)$. Сделаем замену $t = x^2 + x + 1$.

Числитель примет вид: $t^2 + 2(xt) - 3x^2 = t^2 + 2xt - 3x^2$.

Это квадратное выражение относительно переменной $t$. Найдем его корни, решив уравнение $t^2 + 2xt - 3x^2 = 0$:

$t = \frac{-2x \pm \sqrt{(2x)^2 - 4(1)(-3x^2)}}{2} = \frac{-2x \pm \sqrt{4x^2 + 12x^2}}{2} = \frac{-2x \pm \sqrt{16x^2}}{2} = \frac{-2x \pm 4x}{2}$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-2x+4x}{2} = x$ и $t_2 = \frac{-2x-4x}{2} = -3x$.

Следовательно, числитель можно разложить на множители: $(t - x)(t + 3x)$.

Выполним обратную замену $t = x^2 + x + 1$:

$(x^2 + x + 1 - x)(x^2 + x + 1 + 3x) = (x^2 + 1)(x^2 + 4x + 1)$.

Выражение $x^2 + 1$ всегда строго положительно при любом действительном $x$. Корни множителя $x^2 + 4x + 1$ найдем из уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Теперь преобразуем знаменатель: $10x^2 - 17x - 6$. Найдем его корни из уравнения $10x^2 - 17x - 6 = 0$:

$D = (-17)^2 - 4(10)(-6) = 289 + 240 = 529 = 23^2$.

$x = \frac{17 \pm 23}{20}$. Корни: $x_1 = \frac{17+23}{20} = \frac{40}{20} = 2$ и $x_2 = \frac{17-23}{20} = \frac{-6}{20} = -\frac{3}{10}$.

Таким образом, исходное неравенство эквивалентно следующему:

$ \frac{(x^2 + 1)(x^2 + 4x + 1)}{10(x-2)(x+\frac{3}{10})} \ge 0 $

Поскольку $x^2 + 1 > 0$ и $10 > 0$, неравенство можно упростить до:

$ \frac{x^2 + 4x + 1}{(x-2)(x+\frac{3}{10})} \ge 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя (включаются в решение, так как неравенство нестрогое): $-2 - \sqrt{3}$ и $-2 + \sqrt{3}$. Корни знаменателя (исключаются из решения): $2$ и $-\frac{3}{10}$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-2 - \sqrt{3} \approx -3.73$; $-\frac{3}{10} = -0.3$; $-2 + \sqrt{3} \approx -0.27$; $2$.

Определим знаки выражения на полученных интервалах:

• $(-\infty, -2-\sqrt{3}]$: знак $(+)$. Интервал является решением.
• $[-2-\sqrt{3}, -\frac{3}{10})$: знак $(-)$.
• $(-\frac{3}{10}, -2+\sqrt{3}]$: знак $(+)$. Интервал является решением.
• $[-2+\sqrt{3}, 2)$: знак $(-)$.
• $(2, +\infty)$: знак $(+)$. Интервал является решением.

Объединяя интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, -2-\sqrt{3}] \cup (-\frac{3}{10}, -2+\sqrt{3}] \cup (2, +\infty)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{(x^2 - x - 1)^2 - 2(x^3 - x^2 - x) - 3x^2}{10x^4 - 43x^3 - 9x^2} \le 0 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$10x^4 - 43x^3 - 9x^2 \neq 0 \implies x^2(10x^2 - 43x - 9) \neq 0$.

Отсюда следует, что $x \neq 0$. Решим квадратное уравнение $10x^2 - 43x - 9 = 0$:

$D = (-43)^2 - 4(10)(-9) = 1849 + 360 = 2209 = 47^2$.

$x = \frac{43 \pm 47}{20}$. Корни: $x_1 = \frac{43+47}{20} = \frac{90}{20} = \frac{9}{2}$ и $x_2 = \frac{43-47}{20} = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}$.

ОДЗ: $x \neq -\frac{1}{5}$, $x \neq 0$, $x \neq \frac{9}{2}$.

Преобразуем числитель. Заметим, что $x^3 - x^2 - x = x(x^2 - x - 1)$. Сделаем замену $t = x^2 - x - 1$.

Числитель примет вид: $t^2 - 2(xt) - 3x^2 = t^2 - 2xt - 3x^2$.

Найдем корни этого выражения как квадратного относительно $t$: $t = \frac{2x \pm \sqrt{(-2x)^2 - 4(1)(-3x^2)}}{2} = \frac{2x \pm 4x}{2}$.

Корни: $t_1 = 3x$ и $t_2 = -x$. Тогда числитель равен $(t - 3x)(t + x)$.

После обратной замены $t = x^2 - x - 1$ получаем: $(x^2 - x - 1 - 3x)(x^2 - x - 1 + x) = (x^2 - 4x - 1)(x^2 - 1)$.

Неравенство принимает вид: $ \frac{(x^2 - 4x - 1)(x^2 - 1)}{x^2(10x^2 - 43x - 9)} \le 0 $.

Разложив знаменатель на множители, имеем: $ \frac{(x^2 - 4x - 1)(x - 1)(x + 1)}{10x^2(x - \frac{9}{2})(x + \frac{1}{5})} \le 0 $.

Так как $10x^2 > 0$ для всех $x$ из ОДЗ, знак дроби зависит от остальных множителей. Решим неравенство:

$ \frac{(x^2 - 4x - 1)(x - 1)(x + 1)}{(x - \frac{9}{2})(x + \frac{1}{5})} \le 0 $ с учетом $x \neq 0$.

Найдем корни числителя: $x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$. Из $x^2 - 4x - 1 = 0 \implies x = \frac{4 \pm \sqrt{16+4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.

Используем метод интервалов. Критические точки, расположенные на числовой оси:

$-1$, $2 - \sqrt{5} \approx -0.236$, $-\frac{1}{5} = -0.2$, $0$, $1$, $2 + \sqrt{5} \approx 4.236$, $\frac{9}{2} = 4.5$.

Корни числителя ($ -1, 1, 2 \pm \sqrt{5} $) включаются в решение, а точки, в которых знаменатель равен нулю ($-\frac{1}{5}, 0, \frac{9}{2}$), исключаются.

Определим знаки выражения в интервалах и выберем те, где оно меньше или равно нулю:

• $[-1, 2-\sqrt{5}]$: знак $(-)$. Интервал является решением.
• $(-\frac{1}{5}, 0)$: знак $(-)$. Интервал является решением.
• $(0, 1]$: знак $(-)$. Интервал является решением.
• $[2+\sqrt{5}, \frac{9}{2})$: знак $(-)$. Интервал является решением.

В остальных интервалах выражение положительно.

Ответ: $x \in [-1, 2-\sqrt{5}] \cup (-\frac{1}{5}, 0) \cup (0, 1] \cup [2+\sqrt{5}, \frac{9}{2})$.