Номер 29.4, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.4, страница 180.

29.4. Решите уравнение для каждого значения параметра p:

а) $|2x + 1| = p;$

б) $|x^2 - 1| = (p - 1)p;$

в) $|2x + 1| = -1 - 5p;$

г) $|x^2 - 1| = 4(p - 1) - p^2.$

а)

Дано уравнение $|2x + 1| = p$.

Левая часть уравнения, модуль $|2x + 1|$, всегда неотрицательна, то есть $|2x + 1| \ge 0$. Следовательно, уравнение может иметь решения только если правая часть $p$ также неотрицательна.

Рассмотрим три случая для параметра $p$:

1. Если $p < 0$, правая часть уравнения отрицательна, а левая неотрицательна. В этом случае уравнение не имеет решений.

2. Если $p = 0$, уравнение принимает вид $|2x + 1| = 0$. Это возможно, только когда выражение под модулем равно нулю: $2x + 1 = 0$, откуда $2x = -1$ и $x = -1/2$. Уравнение имеет один корень.

3. Если $p > 0$, правая часть положительна. Уравнение $|2x + 1| = p$ равносильно совокупности двух уравнений:

$2x + 1 = p$ или $2x + 1 = -p$.

Решаем первое уравнение: $2x = p - 1$, откуда $x_1 = \frac{p - 1}{2}$.

Решаем второе уравнение: $2x = -p - 1$, откуда $x_2 = \frac{-p - 1}{2}$.

В этом случае уравнение имеет два различных корня.

Ответ: если $p < 0$, корней нет; если $p = 0$, то $x = -1/2$; если $p > 0$, то $x_1 = \frac{p-1}{2}, x_2 = \frac{-p-1}{2}$.

б)

Дано уравнение $|x^2 - 1| = (p - 1)p$.

Левая часть уравнения $|x^2 - 1|$ неотрицательна, поэтому правая часть $(p-1)p$ также должна быть неотрицательной. Неравенство $(p-1)p \ge 0$ выполняется при $p \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$. Если $p \in (0, 1)$, уравнение не имеет решений.

Для $p \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$ уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 1 = p^2 - p \implies x^2 = p^2 - p + 1$.

2) $x^2 - 1 = -(p^2 - p) \implies x^2 = -p^2 + p + 1$.

Рассмотрим уравнение (1): $x^2 = p^2 - p + 1$. Выражение $p^2 - p + 1$ всегда положительно для любого $p$, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 < 0$. Следовательно, это уравнение всегда имеет два корня: $x = \pm\sqrt{p^2 - p + 1}$.

Рассмотрим уравнение (2): $x^2 = -p^2 + p + 1$. Оно имеет решения, если $-p^2 + p + 1 \ge 0$, то есть $p^2 - p - 1 \le 0$. Корни квадратного трехчлена $p^2 - p - 1 = 0$ равны $p = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Таким образом, решения существуют при $p \in [\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}]$.

Объединим результаты, учитывая исходное условие $p \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$:

Случай 1: $p \in (-\infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$. В этом случае условие $p \in [\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}]$ не выполнено, корни дает только уравнение (1). Два корня: $x = \pm\sqrt{p^2 - p + 1}$.

Случай 2: $p = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ или $p = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Для этих значений $p^2 - p - 1 = 0 \implies p^2-p=1$. Уравнение (1) дает $x^2 = 1+1=2 \implies x = \pm\sqrt{2}$. Уравнение (2) дает $x^2 = 0 \implies x=0$. Три корня: $x=0, x=\pm\sqrt{2}$.

Случай 3: $p \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0] \cup [1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$. Здесь оба уравнения дают корни. Проверим, могут ли они совпадать. $p^2 - p + 1 = -p^2 + p + 1 \implies 2p^2 - 2p = 0 \implies 2p(p-1)=0 \implies p=0$ или $p=1$.

- Если $p=0$ или $p=1$, корни совпадают. В обоих случаях $x^2=1$, что дает два корня: $x = \pm 1$.

- Если $p \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$, все корни различны. Четыре корня: $x = \pm\sqrt{p^2 - p + 1}$ и $x = \pm\sqrt{-p^2 + p + 1}$.

Случай 4: $p \in (0, 1)$. Корней нет.

Ответ:

при $p \in (0, 1)$ корней нет;

при $p=0$ или $p=1$ — два корня: $x=\pm 1$;

при $p = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ — три корня: $x=0, x=\pm\sqrt{2}$;

при $p \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$ — четыре корня: $x = \pm\sqrt{p^2 - p + 1}, x = \pm\sqrt{-p^2 + p + 1}$;

при $p \in (-\infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$ — два корня: $x = \pm\sqrt{p^2 - p + 1}$.

в)

Дано уравнение $|2x + 1| = -1 - 5p$.

Левая часть уравнения, модуль $|2x + 1|$, всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть $-1 - 5p$ также должна быть неотрицательной: $-1 - 5p \ge 0$.

Решим это неравенство: $-5p \ge 1 \implies p \le -1/5$.

Рассмотрим три случая для параметра $p$:

1. Если $p > -1/5$, правая часть уравнения отрицательна, и уравнение не имеет решений.

2. Если $p = -1/5$, уравнение принимает вид $|2x + 1| = -1 - 5(-1/5) = -1 + 1 = 0$. Это равносильно $2x + 1 = 0$, откуда $x = -1/2$. Уравнение имеет один корень.

3. Если $p < -1/5$, правая часть $-1 - 5p$ положительна. Уравнение $|2x + 1| = -1 - 5p$ равносильно совокупности двух уравнений:

$2x + 1 = -1 - 5p$ или $2x + 1 = -(-1 - 5p)$.

Решаем первое уравнение: $2x = -2 - 5p$, откуда $x_1 = \frac{-2 - 5p}{2} = -1 - \frac{5}{2}p$.

Решаем второе уравнение: $2x + 1 = 1 + 5p$, откуда $2x = 5p$ и $x_2 = \frac{5p}{2}$.

В этом случае уравнение имеет два различных корня.

Ответ: если $p > -1/5$, корней нет; если $p = -1/5$, то $x = -1/2$; если $p < -1/5$, то $x_1 = -1 - \frac{5}{2}p, x_2 = \frac{5p}{2}$.

г)

Дано уравнение $|x^2 - 1| = 4(p - 1) - p^2$.

Левая часть уравнения, $|x^2 - 1|$, всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной.

Рассмотрим правую часть: $4(p - 1) - p^2 = 4p - 4 - p^2 = -(p^2 - 4p + 4) = -(p - 2)^2$.

Условие того, что уравнение имеет решения, таково: $-(p - 2)^2 \ge 0$.

Так как квадрат любого действительного числа $(p - 2)^2$ неотрицателен, то $-(p - 2)^2$ всегда неположительно, то есть $-(p - 2)^2 \le 0$.

Неравенство $-(p - 2)^2 \ge 0$ может выполняться только в одном случае: когда обе части равны нулю.

$-(p - 2)^2 = 0 \implies (p - 2)^2 = 0 \implies p - 2 = 0 \implies p = 2$.

Таким образом, уравнение имеет решения только при $p=2$. При всех остальных значениях $p$ ($p \neq 2$), правая часть строго отрицательна, и уравнение не имеет корней.

Подставим $p = 2$ в исходное уравнение:

$|x^2 - 1| = 4(2 - 1) - 2^2 = 4(1) - 4 = 4 - 4 = 0$.

Получаем уравнение $|x^2 - 1| = 0$, которое равносильно $x^2 - 1 = 0$.

Решая его, находим $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.

Ответ: если $p = 2$, то $x = \pm 1$; если $p \neq 2$, корней нет.