Номер 29.6, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.6, страница 181.

29.6. а) Найдите все значения параметра $p$, при каждом из которых существует только один корень уравнения $|x - 1| = p$, удовлетворяющий неравенству $x^2 \ge 4$.

б) Найдите все значения параметра $p$, при каждом из которых существует корень уравнения $|x - 1| = p$, удовлетворяющий неравенству $x^2 \ge 4$.

в) Найдите все значения параметра $p$, при каждом из которых ни один корень уравнения $|x - 1| = p$ не удовлетворяет неравенству $x^2 \ge 4$.

г) Найдите все значения параметра $p$, при каждом из которых уравнение $|x - 1| = p$ имеет корни и все они удовлетворяют неравенству $x^2 \ge 4$.

Вначале проанализируем уравнение $|x - 1| = p$ и неравенство $x^2 \ge 4$.

Анализ уравнения $|x - 1| = p$:

1. Если $p < 0$, уравнение не имеет действительных корней, так как модуль числа не может быть отрицательным.
2. Если $p = 0$, уравнение принимает вид $|x - 1| = 0$, откуда $x - 1 = 0$, и мы получаем единственный корень $x = 1$.
3. Если $p > 0$, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
   • $x - 1 = p \implies x_1 = 1 + p$
   • $x - 1 = -p \implies x_2 = 1 - p$
   В этом случае уравнение имеет два различных корня.

Анализ неравенства $x^2 \ge 4$:

Неравенство $x^2 \ge 4$ равносильно $|x| \ge 2$. Решением этого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Теперь проверим, при каких значениях $p$ найденные корни удовлетворяют этому неравенству.

• При $p = 0$, корень $x = 1$. Проверяем: $1^2 = 1$, что меньше 4. Следовательно, корень $x=1$ не удовлетворяет неравенству.
• При $p > 0$, имеем два корня $x_1 = 1 + p$ и $x_2 = 1 - p$.

  Для корня $x_1 = 1 + p$:

  Так как $p > 0$, то $1+p > 1$. Значит, условие $x_1 \le -2$ выполняться не может. Проверим условие $x_1 \ge 2$:

  $1 + p \ge 2 \implies p \ge 1$.

  Следовательно, корень $x_1 = 1 + p$ удовлетворяет неравенству при $p \ge 1$.

  Для корня $x_2 = 1 - p$:

  Проверим условие $x_2 \ge 2$: $1 - p \ge 2 \implies -p \ge 1 \implies p \le -1$. Это противоречит условию $p > 0$.

  Проверим условие $x_2 \le -2$: $1 - p \le -2 \implies -p \le -3 \implies p \ge 3$.

  Следовательно, корень $x_2 = 1 - p$ удовлетворяет неравенству при $p \ge 3$.

Сводка для $p>0$:

• Корень $x_1 = 1+p$ удовлетворяет неравенству $x^2 \ge 4$ при $p \ge 1$.
• Корень $x_2 = 1-p$ удовлетворяет неравенству $x^2 \ge 4$ при $p \ge 3$.

Теперь решим каждую из поставленных задач.

а) Найдите все значения параметра p, при каждом из которых существует только один корень уравнения $|x-1|=p$, удовлетворяющий неравенству $x^2 \ge 4$.

Рассмотрим возможные значения $p$.

• При $p < 0$ корней нет.
• При $p = 0$ есть один корень $x=1$, который не удовлетворяет неравенству.
• При $p > 0$ есть два корня $x_1 = 1 + p$ и $x_2 = 1 - p$. Нам нужно, чтобы ровно один из них удовлетворял неравенству $x^2 \ge 4$. Это возможно в двух случаях:
  1. Корень $x_1 = 1+p$ удовлетворяет неравенству, а $x_2 = 1-p$ — нет. Это соответствует системе условий: $\begin{cases} p \ge 1 \\ p < 3 \end{cases}$ Решением этой системы является промежуток $p \in [1, 3)$.
  2. Корень $x_2 = 1-p$ удовлетворяет неравенству, а $x_1 = 1+p$ — нет. Это соответствует системе условий: $\begin{cases} p \ge 3 \\ p < 1 \end{cases}$ Эта система не имеет решений.

Объединяя результаты, получаем, что условию задачи удовлетворяют значения $p$ из промежутка $[1, 3)$.

Ответ: $p \in [1, 3)$.

б) Найдите все значения параметра p, при каждом из которых существует корень уравнения $|x-1|=p$, удовлетворяющий неравенству $x^2 \ge 4$.

Это означает, что хотя бы один корень уравнения должен удовлетворять неравенству.

• При $p < 0$ корней нет.
• При $p = 0$ корень $x=1$ не удовлетворяет неравенству.
• При $p > 0$ есть два корня $x_1 = 1 + p$ и $x_2 = 1 - p$. Хотя бы один из них должен удовлетворять неравенству. Это произойдет, если выполняется хотя бы одно из условий: $p \ge 1$ (для корня $x_1$) или $p \ge 3$ (для корня $x_2$).

  Объединение множеств решений $p \ge 1$ и $p \ge 3$ дает $p \ge 1$.

Таким образом, условие выполняется при $p \ge 1$.

Ответ: $p \in [1, \infty)$.

в) Найдите все значения параметра p, при каждом из которых ни один корень уравнения $|x-1|=p$ не удовлетворяет неравенству $x^2 \ge 4$.

Это условие является противоположным условию из пункта б), за исключением случая, когда корней нет.

• При $p < 0$ уравнение не имеет корней, следовательно, ни один корень не удовлетворяет неравенству. Эти значения $p$ подходят.
• При $p = 0$ единственный корень $x=1$ не удовлетворяет неравенству. Это значение $p$ подходит.
• При $p > 0$ оба корня $x_1=1+p$ и $x_2=1-p$ не должны удовлетворять неравенству.

  Для $x_1 = 1+p$ это означает $p < 1$.

  Для $x_2 = 1-p$ это означает $p < 3$.

  Оба условия должны выполняться одновременно, т.е. $\begin{cases} p < 1 \\ p < 3 \end{cases}$, что дает $p < 1$. Учитывая, что мы рассматриваем случай $p>0$, получаем $0 < p < 1$.

Объединяя все подходящие значения $p$: $(-\infty, 0) \cup \{0\} \cup (0, 1)$, получаем $p < 1$.

Ответ: $p \in (-\infty, 1)$.

г) Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение $|x-1|=p$ имеет корни и все они удовлетворяют неравенству $x^2 \ge 4$.

Уравнение имеет корни при $p \ge 0$.

• При $p = 0$ есть один корень $x=1$, который не удовлетворяет неравенству. Значит, $p=0$ не подходит.
• При $p > 0$ уравнение имеет два корня $x_1 = 1+p$ и $x_2 = 1-p$. Оба должны удовлетворять неравенству.

  Для $x_1 = 1+p$ условие выполняется при $p \ge 1$.

  Для $x_2 = 1-p$ условие выполняется при $p \ge 3$.

  Чтобы оба корня удовлетворяли неравенству, оба условия должны выполняться одновременно: $\begin{cases} p \ge 1 \\ p \ge 3 \end{cases}$. Решением этой системы является $p \ge 3$.

Таким образом, все корни удовлетворяют неравенству при $p \ge 3$.

Ответ: $p \in [3, \infty)$.