Номер 29.12, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.12, страница 181.

29.12. Докажите, что уравнение $|f(x)| = |h(x)|$ равносильно совокупности уравнений $\left[ \begin{array}{l} f(x) = h(x), \\ f(x) = -h(x). \end{array} \right.$

Чтобы доказать, что уравнение $|f(x)| = |h(x)|$ равносильно совокупности уравнений $\begin{bmatrix} f(x) = h(x), \\ f(x) = -h(x) \end{bmatrix}$, мы должны показать, что множества их решений совпадают. Для этого докажем, что из первого утверждения следует второе, и наоборот.

Доказательство в одну сторону: из $|f(x)| = |h(x)|$ следует совокупность.

Рассмотрим уравнение $|f(x)| = |h(x)|$. Поскольку обе части уравнения являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, при этом преобразование будет равносильным:
$(|f(x)|)^2 = (|h(x)|)^2$
Используя свойство модуля $|a|^2 = a^2$ для любого действительного числа $a$, получаем:
$f(x)^2 = h(x)^2$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$f(x)^2 - h(x)^2 = 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(f(x) - h(x))(f(x) + h(x)) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$f(x) - h(x) = 0$ или $f(x) + h(x) = 0$.
Отсюда следует, что $f(x) = h(x)$ или $f(x) = -h(x)$, что и представляет собой заданную совокупность.

Доказательство в обратную сторону: из совокупности следует $|f(x)| = |h(x)|$.

Пусть выполняется одно из условий совокупности $\begin{bmatrix} f(x) = h(x), \\ f(x) = -h(x) \end{bmatrix}$. Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $f(x) = h(x)$.
Если данное равенство верно, то будут верны и равенства модулей от его левой и правой частей: $|f(x)| = |h(x)|$.
Случай 2: $f(x) = -h(x)$.
Возьмем модуль от обеих частей этого равенства: $|f(x)| = |-h(x)|$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем $|-h(x)| = |h(x)|$. Следовательно, $|f(x)| = |h(x)|$.
Поскольку в обоих случаях мы приходим к равенству $|f(x)| = |h(x)|$, то любое решение совокупности является решением исходного уравнения.

Так как мы доказали, что любое решение уравнения является решением совокупности, и любое решение совокупности является решением уравнения, то они равносильны.

Ответ: Равносильность доказана.