Номер 29.15, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.15, страница 182.

29.15. Докажите, что уравнение $|f(x)| + |h(x)| = 0$ равносильно

системе уравнений

$\begin{cases} f(x) = 0, \\ h(x) = 0. \end{cases}$

Чтобы доказать, что уравнение $|f(x)| + |h(x)| = 0$ равносильно системе уравнений $\begin{cases} f(x) = 0, \\ h(x) = 0 \end{cases}$, мы должны показать, что любое решение уравнения является решением системы, и наоборот.

Доказательство основывается на следующих свойствах модуля (абсолютной величины):

1. Модуль любого действительного числа является неотрицательным. То есть, для любого числа $a$, выполняется неравенство $|a| \ge 0$. Применительно к нашему уравнению это означает, что оба слагаемых в левой части неотрицательны:

$|f(x)| \ge 0$ и $|h(x)| \ge 0$ для всех допустимых значений $x$.

2. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Рассмотрим сумму $|f(x)| + |h(x)|$. Если бы хотя бы одно из слагаемых было строго больше нуля (например, $|f(x)| > 0$), то для выполнения равенства $|f(x)| + |h(x)| = 0$ второе слагаемое должно было бы быть отрицательным ($|h(x)| = -|f(x)| < 0$), что невозможно согласно свойству 1.

Следовательно, уравнение $|f(x)| + |h(x)| = 0$ может выполняться только при одновременном выполнении двух условий:

$|f(x)| = 0$ и $|h(x)| = 0$.

3. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю. То есть, $|a| = 0 \iff a = 0$.

Применяя это свойство к полученным условиям, мы видим, что:

условие $|f(x)| = 0$ равносильно уравнению $f(x) = 0$,

условие $|h(x)| = 0$ равносильно уравнению $h(x) = 0$.

Поскольку оба этих равенства должны выполняться одновременно, мы приходим к системе уравнений, которая имеет то же самое множество решений, что и исходное уравнение:

$ \begin{cases} f(x) = 0, \\ h(x) = 0. \end{cases} $

Таким образом, мы доказали равносильность исходного уравнения и системы уравнений. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равносильность доказана. Уравнение $|f(x)| + |h(x)| = 0$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) = 0, \\ h(x) = 0 \end{cases}$, так как сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только в том случае, когда каждое из этих выражений равно нулю.