Номер 29.9, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.9, страница 181.

29.9. a) $|x^2 - x| = 4x;$

Б) $|2x - x^2 + 3| = x + 7;$

В) $|x^2 - 6x + 10| = x;$

Г) $|-x^2 + 4x - 5| = -x.$

а)

Дано уравнение $|x^2 - x| = 4x$.

Это уравнение вида $|f(x)| = g(x)$. Оно имеет решения только при условии, что правая часть неотрицательна, то есть $g(x) \ge 0$.

В нашем случае $g(x) = 4x$. Следовательно, должно выполняться условие $4x \ge 0$, из которого следует $x \ge 0$.

При этом условии уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - x = 4x$

$x^2 - 5x = 0$

$x(x - 5) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

2) $x^2 - x = -4x$

$x^2 + 3x = 0$

$x(x + 3) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = -3$.

Проверяем эти корни по условию $x \ge 0$. Корень $x_3 = 0$ удовлетворяет условию. Корень $x_4 = -3$ не удовлетворяет условию ($ -3 \lt 0$), поэтому он является посторонним.

Объединяя все найденные решения, которые удовлетворяют начальному условию, получаем корни $0$ и $5$.

Ответ: $0; 5$.

б)

Дано уравнение $|2x - x^2 + 3| = x + 7$.

Аналогично предыдущему пункту, правая часть должна быть неотрицательной: $x + 7 \ge 0$, то есть $x \ge -7$.

Раскрываем модуль, рассматривая два случая:

1) $2x - x^2 + 3 = x + 7$

$-x^2 + x - 4 = 0$

$x^2 - x + 4 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

2) $2x - x^2 + 3 = -(x + 7)$

$2x - x^2 + 3 = -x - 7$

$-x^2 + 3x + 10 = 0$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а произведение равно $-10$. Корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x \ge -7$.

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge -7$).

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию ($-2 \ge -7$).

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 5$.

в)

Дано уравнение $|x^2 - 6x + 10| = x$.

Условие существования решений: $x \ge 0$.

Рассмотрим выражение под модулем: $x^2 - 6x + 10$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=1$) положительный, то выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда положительно при любом значении $x$.

Следовательно, $|x^2 - 6x + 10| = x^2 - 6x + 10$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 - 6x + 10 = x$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $10$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Ответ: $2; 5$.

г)

Дано уравнение $|-x^2 + 4x - 5| = -x$.

Условие существования решений: $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$.

Рассмотрим выражение под модулем: $-x^2 + 4x - 5$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вниз. Найдем ее дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=-1$) отрицательный, то выражение $-x^2 + 4x - 5$ всегда отрицательно при любом значении $x$.

Следовательно, $|-x^2 + 4x - 5| = -(-x^2 + 4x - 5) = x^2 - 4x + 5$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 - 4x + 5 = -x$

$x^2 - 3x + 5 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.

Ответ: корней нет.