Номер 29.10, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.10, страница 181.

29.10. a) $|\log_2 x| = \log_2 (2x - 3);$

б) $|\log_3 (3x - 2) + \log_3 (2x - 1)| = \log_3 (2x - 1);$

в) $|\log_5 (x + 3)| = \log_5 (4x + 1);$

г) $|\log_7 (2x - 7) - \log_7 (x - 11)| = \log_7 (x - 11).$

а) $|\log_2 x| = \log_2 (2x - 3)$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$x > 0$
$2x - 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > 1.5$
Кроме того, правая часть уравнения, $\log_2 (2x - 3)$, должна быть неотрицательной, так как она равна модулю некоторого числа:
$\log_2 (2x - 3) \ge 0$
Поскольку $\log_2 1 = 0$, это неравенство равносильно:
$2x - 3 \ge 1 \implies 2x \ge 4 \implies x \ge 2$
Объединяя все условия ($x > 0$, $x > 1.5$ и $x \ge 2$), получаем итоговую ОДЗ: $x \ge 2$.

2. Решим уравнение. Уравнение вида $|A| = B$ равносильно совокупности двух уравнений при условии $B \ge 0$, которое мы уже учли в ОДЗ. Раскроем модуль:
Случай 1: $\log_2 x = \log_2 (2x - 3)$
Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:
$x = 2x - 3$
$-x = -3 \implies x = 3$
Проверяем корень по ОДЗ: $3 \ge 2$. Корень подходит.

Случай 2: $\log_2 x = -\log_2 (2x - 3)$
Используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$, получаем:
$\log_2 x = \log_2 (2x - 3)^{-1} \implies \log_2 x = \log_2 \left(\frac{1}{2x - 3}\right)$
Приравниваем аргументы:
$x = \frac{1}{2x - 3}$
$x(2x - 3) = 1$
$2x^2 - 3x - 1 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-1) = 9 + 8 = 17$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$.
Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$):
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $\frac{3+4}{4} < x_1 < \frac{3+5}{4}$, что дает $1.75 < x_1 < 2$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$. Так как $\sqrt{17} > 3$, этот корень отрицателен и не удовлетворяет ОДЗ.
Таким образом, единственным решением уравнения является $x=3$.
Ответ: 3.

б) $|\log_3 (3x - 2) + \log_3 (2x - 1)| = \log_3 (2x - 1)$
1. Найдем ОДЗ:
$3x - 2 > 0 \implies x > 2/3$
$2x - 1 > 0 \implies x > 1/2$
Правая часть $\log_3 (2x - 1) \ge 0 \implies 2x - 1 \ge 1 \implies 2x \ge 2 \implies x \ge 1$.
Общая ОДЗ: $x \ge 1$.

2. Решим уравнение, раскрыв модуль:
Случай 1: $\log_3 (3x - 2) + \log_3 (2x - 1) = \log_3 (2x - 1)$
$\log_3 (3x - 2) = 0$
$3x - 2 = 3^0 \implies 3x - 2 = 1 \implies 3x = 3 \implies x = 1$.
Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 1$).

Случай 2: $\log_3 (3x - 2) + \log_3 (2x - 1) = -\log_3 (2x - 1)$
$\log_3 (3x - 2) = -2\log_3 (2x - 1)$
$\log_3 (3x - 2) = \log_3 ((2x - 1)^{-2})$
$3x - 2 = \frac{1}{(2x - 1)^2}$
$(3x - 2)(4x^2 - 4x + 1) = 1$
$12x^3 - 12x^2 + 3x - 8x^2 + 8x - 2 = 1$
$12x^3 - 20x^2 + 11x - 3 = 0$
Проверим, является ли $x=1$ корнем этого уравнения: $12 - 20 + 11 - 3 = 0$. Да, является. Разделим многочлен на $(x - 1)$: $(12x^3 - 20x^2 + 11x - 3) : (x-1) = 12x^2 - 8x + 3$.
Получаем уравнение $(x-1)(12x^2 - 8x + 3) = 0$.
Для квадратного уравнения $12x^2 - 8x + 3 = 0$ найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4(12)(3) = 64 - 144 = -80 < 0$. Действительных корней нет.
Единственное решение из этого случая - $x=1$, которое мы уже нашли.
Ответ: 1.

в) $|\log_5 (x + 3)| = \log_5 (4x + 1)$
1. Найдем ОДЗ:
$x + 3 > 0 \implies x > -3$
$4x + 1 > 0 \implies x > -1/4$
Правая часть $\log_5 (4x + 1) \ge 0 \implies 4x + 1 \ge 1 \implies 4x \ge 0 \implies x \ge 0$.
Общая ОДЗ: $x \ge 0$.

2. Решим уравнение, раскрыв модуль:
Случай 1: $\log_5 (x + 3) = \log_5 (4x + 1)$
$x + 3 = 4x + 1$
$3x = 2 \implies x = 2/3$.
Корень $x = 2/3$ удовлетворяет ОДЗ ($2/3 \ge 0$).

Случай 2: $\log_5 (x + 3) = -\log_5 (4x + 1)$
$\log_5 (x + 3) = \log_5 ((4x + 1)^{-1})$
$x + 3 = \frac{1}{4x + 1}$
$(x + 3)(4x + 1) = 1$
$4x^2 + x + 12x + 3 = 1$
$4x^2 + 13x + 2 = 0$
$D = 13^2 - 4(4)(2) = 169 - 32 = 137$.
$x_{1,2} = \frac{-13 \pm \sqrt{137}}{8}$.
Так как $11 < \sqrt{137} < 12$, оба корня $x_1 = \frac{-13 + \sqrt{137}}{8}$ и $x_2 = \frac{-13 - \sqrt{137}}{8}$ отрицательны и не удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).
Следовательно, единственное решение - это $x=2/3$.
Ответ: 2/3.

г) $|\log_7 (2x - 7) - \log_7 (x - 11)| = \log_7 (x - 11)$
1. Найдем ОДЗ:
$2x - 7 > 0 \implies x > 3.5$
$x - 11 > 0 \implies x > 11$
Правая часть $\log_7 (x - 11) \ge 0 \implies x - 11 \ge 1 \implies x \ge 12$.
Общая ОДЗ: $x \ge 12$.

2. Решим уравнение, раскрыв модуль:
Случай 1: $\log_7 (2x - 7) - \log_7 (x - 11) = \log_7 (x - 11)$
$\log_7 (2x - 7) = 2\log_7 (x - 11)$
$\log_7 (2x - 7) = \log_7 ((x - 11)^2)$
$2x - 7 = (x - 11)^2$
$2x - 7 = x^2 - 22x + 121$
$x^2 - 24x + 128 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 24, произведение равно 128. Корни: $x_1 = 8$, $x_2 = 16$.
Проверяем по ОДЗ ($x \ge 12$): $x_1 = 8$ не подходит, $x_2 = 16$ подходит.

Случай 2: $\log_7 (2x - 7) - \log_7 (x - 11) = -\log_7 (x - 11)$
$\log_7 (2x - 7) = 0$
$2x - 7 = 7^0 \implies 2x - 7 = 1 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
Корень $x=4$ не удовлетворяет ОДЗ ($4 < 12$).
Следовательно, единственное решение - это $x=16$.
Ответ: 16.