Номер 29.5, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.5, страница 180.

29.5. Для каждого значения параметра p определите число корней уравнения:

а) $|x + 1| = 2 - p;$

б) $|2x - x^2| = \log_5 p;$

в) $|2 - x| = 1 - 2 \sin p;$

г) $|x^2 - 1| = \lg \frac{p}{p - 1}.$

а) $|x + 1| = 2 - p$

Левая часть уравнения, $|x+1|$, по определению модуля, всегда неотрицательна, то есть $|x+1| \ge 0$.Для того чтобы уравнение имело решения, его правая часть также должна быть неотрицательной.Следовательно, должно выполняться условие:$2 - p \ge 0 \implies p \le 2$.Рассмотрим три возможных случая:

1. Если правая часть строго больше нуля: $2 - p > 0$, что эквивалентно $p < 2$.В этом случае уравнение $|x+1| = 2-p$ распадается на два линейных уравнения:$x+1 = 2-p$ или $x+1 = -(2-p)$.Из первого уравнения находим корень: $x = 1-p$.Из второго уравнения: $x+1 = p-2$, откуда $x = p-3$.Поскольку $p < 2$, то $1-p \ne p-3$ (равенство достигается при $2p=4 \implies p=2$), корни различны. Таким образом, при $p < 2$ уравнение имеет два корня.

2. Если правая часть равна нулю: $2 - p = 0$, что эквивалентно $p = 2$.Уравнение принимает вид $|x+1|=0$.Это уравнение имеет единственное решение: $x+1=0 \implies x = -1$.Таким образом, при $p = 2$ уравнение имеет один корень.

3. Если правая часть меньше нуля: $2 - p < 0$, что эквивалентно $p > 2$.Уравнение принимает вид $|x+1| = \text{отрицательное число}$.Так как модуль любого выражения не может быть отрицательным, в этом случае уравнение не имеет корней.

Ответ: если $p < 2$, уравнение имеет 2 корня; если $p=2$, уравнение имеет 1 корень; если $p > 2$, уравнение не имеет корней.

б) $|2x - x^2| = \log_5 p$

Сначала определим область допустимых значений параметра $p$. Выражение $\log_5 p$ определено только при $p > 0$.Левая часть уравнения, $|2x - x^2|$, неотрицательна. Следовательно, для существования корней правая часть также должна быть неотрицательной:$\log_5 p \ge 0 \implies p \ge 5^0 \implies p \ge 1$.Объединяя условия, получаем, что решения могут существовать только при $p \ge 1$. Если $p \in (-\infty, 1)$, корней нет.

Для анализа количества корней используем графический метод. Рассмотрим графики функций $y = |2x - x^2|$ и $y = C$, где $C = \log_5 p$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков.График функции $y=|2x-x^2|=|x(2-x)|$ имеет локальный максимум в точке $(1, 1)$ и два минимума (нули функции) в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

1. Если $p=1$, то $C = \log_5 1 = 0$. Прямая $y=0$ пересекает график $y=|2x-x^2|$ в двух точках: $x=0$ и $x=2$. Уравнение имеет 2 корня.

2. Если $1 < p < 5$, то $0 < \log_5 p < 1$, то есть $0 < C < 1$. Горизонтальная прямая $y=C$ пересекает график в четырех точках. Уравнение имеет 4 корня.

3. Если $p=5$, то $C = \log_5 5 = 1$. Прямая $y=1$ касается графика в его вершине $(1,1)$ и пересекает две другие ветви. Уравнение $|2x-x^2|=1$ имеет 3 корня. Один корень $x=1$ (из $2x-x^2=1$) и два корня из $-(2x-x^2)=1 \implies x^2-2x-1=0$, которые равны $x=1 \pm \sqrt{2}$.

4. Если $p > 5$, то $C = \log_5 p > 1$. Прямая $y=C$ пересекает график в двух точках. Уравнение имеет 2 корня.

Ответ: если $p \in (-\infty, 1)$, корней нет; если $p = 1$, 2 корня; если $p \in (1, 5)$, 4 корня; если $p = 5$, 3 корня; если $p > 5$, 2 корня.

в) $|2 - x| = 1 - 2 \sin p$

Левая часть уравнения, $|2-x|$, неотрицательна. Следовательно, правая часть $1 - 2 \sin p$ также должна быть неотрицательной для существования решений:$1 - 2 \sin p \ge 0 \implies 2 \sin p \le 1 \implies \sin p \le \frac{1}{2}$.

1. Если $1 - 2 \sin p > 0$, что эквивалентно $\sin p < \frac{1}{2}$.В этом случае уравнение $|2-x| = 1-2\sin p$ имеет два различных корня:$2-x = 1 - 2\sin p \implies x = 1 + 2\sin p$$2-x = -(1 - 2\sin p) \implies x = 3 - 2\sin p$

2. Если $1 - 2 \sin p = 0$, что эквивалентно $\sin p = \frac{1}{2}$.Уравнение принимает вид $|2-x|=0$ и имеет один корень: $x=2$.

3. Если $1 - 2 \sin p < 0$, что эквивалентно $\sin p > \frac{1}{2}$.Уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным.

Ответ: если $\sin p > \frac{1}{2}$, корней нет; если $\sin p = \frac{1}{2}$, один корень; если $\sin p < \frac{1}{2}$, два корня.

г) $|x^2 - 1| = \lg \frac{p}{p-1}$

Область допустимых значений параметра $p$ определяется условием $\frac{p}{p-1} > 0$. Решая это неравенство, получаем $p \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.Левая часть уравнения, $|x^2-1|$, неотрицательна, поэтому для существования корней правая часть также должна быть неотрицательной:$\lg \frac{p}{p-1} \ge 0 \implies \frac{p}{p-1} \ge 10^0 = 1$.$\frac{p}{p-1} - 1 \ge 0 \implies \frac{p - (p-1)}{p-1} \ge 0 \implies \frac{1}{p-1} \ge 0$.Это неравенство выполняется только при $p-1 > 0$, то есть $p > 1$.Таким образом, уравнение может иметь корни только при $p > 1$. При $p \le 1$ корней нет.

Рассмотрим количество корней графически, анализируя пересечения графика $y = |x^2 - 1|$ с горизонтальной прямой $y = C$, где $C = \lg \frac{p}{p-1}$.График $y=|x^2-1|$ имеет минимумы в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и локальный максимум в точке $(0, 1)$.Функция $C(p) = \lg \frac{p}{p-1}$ при $p > 1$ убывает от $+\infty$ (при $p \to 1^+$) до $0$ (при $p \to \infty$).

1. Если $C > 1$. Прямая $y=C$ пересекает график в 2 точках.Условие $C > 1$ равносильно $\lg \frac{p}{p-1} > 1 \implies \frac{p}{p-1} > 10 \implies \frac{10-9p}{p-1} > 0$.Учитывая, что $p > 1$, знаменатель $p-1 > 0$. Тогда $10-9p > 0 \implies p < \frac{10}{9}$.Следовательно, при $p \in (1, \frac{10}{9})$ уравнение имеет 2 корня.

2. Если $C = 1$. Прямая $y=1$ пересекает график в 3 точках: в локальном максимуме $(0,1)$ и в двух точках, где $x^2-1=1 \implies x=\pm\sqrt{2}$.Условие $C = 1$ равносильно $\lg \frac{p}{p-1} = 1 \implies \frac{p}{p-1} = 10 \implies p = 10p-10 \implies 9p = 10 \implies p = \frac{10}{9}$.При $p = \frac{10}{9}$ уравнение имеет 3 корня.

3. Если $0 < C < 1$. Прямая $y=C$ пересекает график в 4 точках.Условие $0 < C < 1$ равносильно $p > \frac{10}{9}$.При $p > \frac{10}{9}$ уравнение имеет 4 корня.

Ответ: если $p \le 1$, корней нет; если $p \in (1, \frac{10}{9})$, 2 корня; если $p = \frac{10}{9}$, 3 корня; если $p > \frac{10}{9}$, 4 корня.