Номер 29.1, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.1, страница 180.

Решите уравнение:

29.1. a) $|x| = 7$;

б) $|x - 8| = 7$;

в) $|x + 5| = 7$;

г) $|5x - 2| = 1$.

а) Решение уравнения $|x| = 7$.
По определению модуля, если модуль числа равен положительному числу $c$, то само число может быть равно $c$ или $-c$. В данном случае уравнение $|x| = 7$ равносильно совокупности двух случаев:
1) $x = 7$
2) $x = -7$
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $\{-7; 7\}$.

б) Решение уравнения $|x - 8| = 7$.
Данное уравнение означает, что выражение, стоящее под знаком модуля, равно $7$ или $-7$. Это приводит к совокупности двух линейных уравнений:
1) $x - 8 = 7$
$x = 7 + 8$
$x = 15$
2) $x - 8 = -7$
$x = -7 + 8$
$x = 1$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $\{1; 15\}$.

в) Решение уравнения $|x + 5| = 7$.
Это уравнение также равносильно совокупности двух линейных уравнений, так как выражение под знаком модуля может быть равно $7$ или $-7$.
1) $x + 5 = 7$
$x = 7 - 5$
$x = 2$
2) $x + 5 = -7$
$x = -7 - 5$
$x = -12$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $\{-12; 2\}$.

г) Решение уравнения $|5x - 2| = 1$.
Раскрываем модуль, рассматривая два случая для выражения $5x-2$:
1) $5x - 2 = 1$
$5x = 1 + 2$
$5x = 3$
$x = \frac{3}{5}$
2) $5x - 2 = -1$
$5x = -1 + 2$
$5x = 1$
$x = \frac{1}{5}$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $\{\frac{1}{5}; \frac{3}{5}\}$.