Номер 28.55, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.55, страница 179.

28.55. a) $6 \log_3 |x - 1| \le 14 + 2x - x^2;$

б) $\log_2 (x^2 + x - 10) > 25 - 2x - 2x^2.$

а) $6 \log_3 |x-1| \le 14 + 2x - x^2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$|x-1| > 0$
Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Преобразуем правую часть неравенства, выделив полный квадрат:
$14 + 2x - x^2 = -(x^2 - 2x - 14) = -(x^2 - 2x + 1 - 15) = -((x-1)^2 - 15) = 15 - (x-1)^2$.

Неравенство принимает вид:
$6 \log_3 |x-1| \le 15 - (x-1)^2$.

3. Введем замену переменной. Пусть $t = |x-1|$. Учитывая ОДЗ, $t > 0$. Также заметим, что $(x-1)^2 = |x-1|^2 = t^2$.
Подставив $t$ в неравенство, получим:
$6 \log_3 t \le 15 - t^2$, где $t > 0$.

4. Рассмотрим две функции: $f(t) = 6 \log_3 t$ и $g(t) = 15 - t^2$.
Функция $f(t)$ является логарифмической и возрастает на всей своей области определения $t > 0$.
Функция $g(t)$ является параболой с ветвями вниз, и при $t > 0$ она убывает.
Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(t) = g(t)$.

5. $6 \log_3 t = 15 - t^2$. Методом подбора легко найти корень. Проверим $t=3$:
Левая часть: $6 \log_3 3 = 6 \cdot 1 = 6$.
Правая часть: $15 - 3^2 = 15 - 9 = 6$.
Поскольку $6 = 6$, то $t=3$ является единственным решением уравнения.

6. Вернемся к неравенству $f(t) \le g(t)$. Так как $f(t)$ возрастает, а $g(t)$ убывает, неравенство будет выполняться для всех $t$ до точки их пересечения (включительно). С учетом области определения $t>0$, получаем:
$0 < t \le 3$.

7. Произведем обратную замену:
$0 < |x-1| \le 3$.
Это двойное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} |x-1| > 0 \\ |x-1| \le 3 \end{cases}$
Решение первого неравенства: $x \ne 1$.
Решение второго неравенства: $-3 \le x-1 \le 3$, что дает $-2 \le x \le 4$.

8. Объединяя полученные условия, находим окончательное решение: $x \in [-2, 4]$ и $x \ne 1$.

Ответ: $[-2, 1) \cup (1, 4]$.

---

б) $\log_2 (x^2 + x - 10) > 25 - 2x - 2x^2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$x^2 + x - 10 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 10 = 0$.
$D = 1^2 - 4(1)(-10) = 41$.
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$.
Парабола $y=x^2+x-10$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}) \cup (\frac{-1 + \sqrt{41}}{2}, \infty)$.

2. Преобразуем исходное неравенство. Заметим, что выражение в правой части связано с выражением под логарифмом.
$\log_2 (x^2 + x - 10) > 25 - 2(x^2 + x)$.

3. Введем замену. Пусть $t = x^2 + x - 10$. Из ОДЗ следует, что $t > 0$.
Тогда $x^2 + x = t + 10$. Подставим это в неравенство:
$\log_2 t > 25 - 2(t + 10)$
$\log_2 t > 25 - 2t - 20$
$\log_2 t > 5 - 2t$.

4. Рассмотрим функции $f(t) = \log_2 t$ и $g(t) = 5 - 2t$.
Функция $f(t)$ является возрастающей при $t > 0$.
Функция $g(t)$ является убывающей.
Найдем точку их пересечения, решив уравнение $f(t) = g(t)$.

5. $\log_2 t = 5 - 2t$. Методом подбора находим корень. Проверим $t=2$:
Левая часть: $\log_2 2 = 1$.
Правая часть: $5 - 2 \cdot 2 = 1$.
Так как $1=1$, то $t=2$ - единственный корень уравнения.

6. Вернемся к неравенству $f(t) > g(t)$. Так как $f(t)$ возрастает, а $g(t)$ убывает, неравенство будет выполняться для всех $t$, больших точки их пересечения.
Таким образом, решение для $t$: $t > 2$.

7. Выполним обратную замену:
$x^2 + x - 10 > 2$
$x^2 + x - 12 > 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x+4)(x-3) > 0$.
Решением этого неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\infty, -4) \cup (3, \infty)$.

8. Совместим полученное решение с ОДЗ.
ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}) \cup (\frac{-1 + \sqrt{41}}{2}, \infty)$.
Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (3, \infty)$.
Сравним граничные точки. Так как $6 < \sqrt{41} < 7$:
$\frac{-1 - \sqrt{41}}{2} \approx \frac{-1 - 6.4}{2} = -3.7$. Так как $-4 < -3.7$, то $(-\infty, -4) \subset (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{41}}{2})$.
$\frac{-1 + \sqrt{41}}{2} \approx \frac{-1 + 6.4}{2} = 2.7$. Так как $3 > 2.7$, то $(3, \infty) \subset (\frac{-1 + \sqrt{41}}{2}, \infty)$.
Полученное решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(-\infty, -4) \cup (3, \infty)$.