Номер 28.48, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.48, страница 179.

28.48. а) $\sqrt[3]{3^{2-x} - 13} < \sqrt[3]{\left(\frac{1}{3}\right)^x} + 11;$

б) $\sqrt[7]{2 \ln^2 x - 3 \ln x + 5} > \sqrt[7]{6 - 4 \ln x}.$

а) Исходное неравенство:

$\sqrt[3]{3^{2-x} - 13} < \sqrt[3]{(\frac{1}{3})^x + 11}$

Так как функция $f(t) = \sqrt[3]{t}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, мы можем возвести обе части неравенства в третью степень, сохранив знак неравенства:

$3^{2-x} - 13 < (\frac{1}{3})^x + 11$

Преобразуем степени с основанием 3:

$3^2 \cdot 3^{-x} - 13 < (3^{-1})^x + 11$

$9 \cdot 3^{-x} - 13 < 3^{-x} + 11$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^{-x}$. Поскольку показательная функция всегда принимает положительные значения, $y > 0$.

$9y - 13 < y + 11$

Теперь решим полученное линейное неравенство относительно $y$:

$9y - y < 11 + 13$

$8y < 24$

$y < 3$

Учитывая условие $y > 0$, получаем систему неравенств:

$\begin{cases} y < 3 \\ y > 0 \end{cases}$

Таким образом, $0 < y < 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = 3^{-x}$:

$0 < 3^{-x} < 3$

Неравенство $3^{-x} > 0$ выполняется для любого действительного $x$.

Решим вторую часть неравенства: $3^{-x} < 3$.

$3^{-x} < 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, функция $f(t) = 3^t$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-x < 1$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x > -1$

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

б) Исходное неравенство:

$\sqrt[7]{2 \ln^2 x - 3 \ln x + 5} > \sqrt[7]{6 - 4 \ln x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования натурального логарифма: $x > 0$.

Функция $f(t) = \sqrt[7]{t}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому мы можем возвести обе части неравенства в седьмую степень, сохранив знак неравенства:

$2 \ln^2 x - 3 \ln x + 5 > 6 - 4 \ln x$

Перенесем все члены в левую часть:

$2 \ln^2 x - 3 \ln x + 4 \ln x + 5 - 6 > 0$

$2 \ln^2 x + \ln x - 1 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \ln x$. Тогда неравенство принимает вид:

$2t^2 + t - 1 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2t^2 + t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Парабола $y=2t^2 + t - 1$ направлена ветвями вверх (так как коэффициент при $t^2$ положителен), поэтому неравенство $2t^2 + t - 1 > 0$ выполняется при значениях $t$, находящихся вне интервала между корнями.

Таким образом, $t < -1$ или $t > \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\ln x < -1$

$x < e^{-1}$

$x < \frac{1}{e}$

2) $\ln x > \frac{1}{2}$

$x > e^{1/2}$

$x > \sqrt{e}$

Объединим полученные решения с ОДЗ ($x > 0$):

Из первого случая получаем $0 < x < \frac{1}{e}$.

Второй случай $x > \sqrt{e}$ уже удовлетворяет ОДЗ, так как $\sqrt{e} > 0$.

Итоговое решение является объединением этих двух интервалов.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{e}) \cup (\sqrt{e}; +\infty)$.