Номер 28.41, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.41, страница 178.

28.41. a) $\sqrt{x} \log_2 (x^2 - 8) > 0;$

б) $3x^2 - 19\sqrt{x^2 - 4} < 0;$

в) $\sqrt{-x} \log_{\frac{1}{8}} (100 - x^2) < 0;$

г) $(2^{x^2 - 5} - 0,5) \log_6 (4x + 1) > 0.$

а)

Решим неравенство $ \sqrt{x} \log_{2} (x^2 - 8) > 0 $.
Произведение двух множителей положительно, если оба множителя положительны.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2 - 8 > 0 \end{cases} $
Из второго неравенства $ x^2 > 8 $, что означает $ x > \sqrt{8} $ или $ x < -\sqrt{8} $.
С учетом первого неравенства $ x \ge 0 $, получаем ОДЗ: $ x > \sqrt{8} $, то есть $ x > 2\sqrt{2} $.
Теперь вернемся к исходному неравенству. Оно равносильно системе:
$ \begin{cases} \sqrt{x} > 0 \\ \log_{2} (x^2 - 8) > 0 \end{cases} $
Из первого неравенства получаем $ x > 0 $.
Решим второе неравенство. Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, то:
$ x^2 - 8 > 2^0 $
$ x^2 - 8 > 1 $
$ x^2 - 9 > 0 $
$ (x-3)(x+3) > 0 $
Решением этого неравенства является $ x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty) $.
Теперь найдем пересечение всех полученных условий:
$ \begin{cases} x > 2\sqrt{2} \text{ (ОДЗ)} \\ x > 0 \\ x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty) \end{cases} $
Так как $ 3 = \sqrt{9} $, а $ 2\sqrt{2} = \sqrt{8} $, то $ 3 > 2\sqrt{2} $.
Пересечением всех условий будет интервал $ (3, \infty) $.
Ответ: $ x \in (3, \infty) $.

б)

Решим неравенство $ 3^{x^2-19} \sqrt{x^2 - 4} < 0 $.
Рассмотрим каждый множитель в левой части неравенства.
Первый множитель $ 3^{x^2-19} $ является показательной функцией с основанием $ 3 > 1 $. Такая функция всегда принимает только положительные значения, то есть $ 3^{x^2-19} > 0 $ при любом действительном $ x $.
Второй множитель $ \sqrt{x^2 - 4} $ является арифметическим квадратным корнем, который по определению всегда неотрицателен, то есть $ \sqrt{x^2 - 4} \ge 0 $ (в своей области определения $ x^2-4 \ge 0 $).
Таким образом, левая часть неравенства представляет собой произведение положительного числа на неотрицательное. Результат такого произведения всегда будет неотрицательным (больше или равен нулю).
Следовательно, левая часть неравенства никогда не может быть строго меньше нуля.
Ответ: нет решений.

в)

Решим неравенство $ \sqrt{-x} \log_{\frac{1}{8}} (100 - x^2) < 0 $.
Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки.
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} -x \ge 0 \\ 100 - x^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 0 \\ x^2 < 100 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 0 \\ -10 < x < 10 \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (-10, 0] $.
Множитель $ \sqrt{-x} $ всегда неотрицателен ($ \ge 0 $). Для того чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо, чтобы $ \sqrt{-x} > 0 $, то есть $ x < 0 $.
При этом условии $ \sqrt{-x} $ положителен. Тогда для выполнения неравенства второй множитель должен быть отрицательным:
$ \log_{\frac{1}{8}} (100 - x^2) < 0 $.
Так как основание логарифма $ \frac{1}{8} < 1 $, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$ 100 - x^2 > (\frac{1}{8})^0 $
$ 100 - x^2 > 1 $
$ 99 > x^2 \implies x^2 < 99 $
$ -\sqrt{99} < x < \sqrt{99} $, что то же самое, что и $ -3\sqrt{11} < x < 3\sqrt{11} $.
Объединим все условия:
$ \begin{cases} x \in (-10, 0] \text{ (ОДЗ)} \\ x < 0 \\ -3\sqrt{11} < x < 3\sqrt{11} \end{cases} $
Так как $ \sqrt{81} < \sqrt{99} < \sqrt{100} $, то $ 9 < 3\sqrt{11} < 10 $.
Пересечением всех трех условий является интервал $ (-3\sqrt{11}, 0) $.
Ответ: $ x \in (-3\sqrt{11}, 0) $.

г)

Решим неравенство $ (2^{x^2-5} - 0,5) \log_6 (4x + 1) > 0 $.
Применим метод интервалов.
Найдем ОДЗ: $ 4x + 1 > 0 \implies 4x > -1 \implies x > -1/4 $.
Найдем нули каждого множителя:
1) $ 2^{x^2-5} - 0,5 = 0 \implies 2^{x^2-5} = 0,5 \implies 2^{x^2-5} = 2^{-1} $
$ x^2 - 5 = -1 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2 $.
Корень $ x_2 = -2 $ не входит в ОДЗ.
2) $ \log_6 (4x + 1) = 0 \implies 4x + 1 = 6^0 \implies 4x + 1 = 1 \implies 4x = 0 \implies x_3 = 0 $.
Нанесем на числовую прямую ОДЗ и полученные корни $ x=0 $ и $ x=2 $.
Получим интервалы: $ (-1/4, 0) $, $ (0, 2) $, $ (2, \infty) $.
Определим знаки произведения на каждом интервале:
- Интервал $ (-1/4, 0) $: Возьмем $ x = -1/8 $.
$ 2^{(-1/8)^2-5} - 0.5 = 2^{1/64-5} - 0.5 < 0 $.
$ \log_6(4(-1/8)+1) = \log_6(1/2) < 0 $.
Произведение (–) * (–) = (+). Интервал подходит.
- Интервал $ (0, 2) $: Возьмем $ x = 1 $.
$ 2^{1^2-5} - 0.5 = 2^{-4} - 0.5 = 1/16 - 0.5 < 0 $.
$ \log_6(4(1)+1) = \log_6(5) > 0 $.
Произведение (–) * (+) = (–). Интервал не подходит.
- Интервал $ (2, \infty) $: Возьмем $ x = 3 $.
$ 2^{3^2-5} - 0.5 = 2^4 - 0.5 = 15.5 > 0 $.
$ \log_6(4(3)+1) = \log_6(13) > 0 $.
Произведение (+) * (+) = (+). Интервал подходит.
Объединяем подходящие интервалы.
Ответ: $ x \in (-1/4, 0) \cup (2, \infty) $.