Номер 28.35, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.35, страница 177.

28.35. a) $4^{\sqrt{x}} - 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 < 0;$

б) $9^{\sqrt{x}} - 10 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 9 < 0.$

а) Решим неравенство $4^{\sqrt{x}} - 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 < 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования квадратного корня: $x \ge 0$.
Заметим, что $4^{\sqrt{x}} = (2^2)^{\sqrt{x}} = (2^{\sqrt{x}})^2$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = 2^{\sqrt{x}}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $t = 2^{\sqrt{x}} \ge 2^0 = 1$.
Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:
$t^2 - 9t + 8 < 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.
Парабола $y = t^2 - 9t + 8$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 9t + 8 < 0$ выполняется между корнями:
$1 < t < 8$.
С учетом условия $t \ge 1$, получаем то же самое решение для $t$: $1 < t < 8$.
Выполним обратную замену:
$1 < 2^{\sqrt{x}} < 8$.
Представим числа 1 и 8 в виде степеней с основанием 2:
$2^0 < 2^{\sqrt{x}} < 2^3$.
Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей степени:
$0 < \sqrt{x} < 3$.
Поскольку все части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:
$0^2 < (\sqrt{x})^2 < 3^2$,
$0 < x < 9$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $(0; 9)$.

б) Решим неравенство $9^{\sqrt{x}} - 10 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 9 < 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
Заметим, что $9^{\sqrt{x}} = (3^2)^{\sqrt{x}} = (3^{\sqrt{x}})^2$. Сделаем замену переменной.
Пусть $y = 3^{\sqrt{x}}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $y = 3^{\sqrt{x}} \ge 3^0 = 1$.
Неравенство принимает вид:
$y^2 - 10y + 9 < 0$.
Найдем корни уравнения $y^2 - 10y + 9 = 0$.
По теореме Виета, корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 9$.
Решением неравенства $y^2 - 10y + 9 < 0$ является интервал между корнями:
$1 < y < 9$.
Учитывая условие $y \ge 1$, получаем $1 < y < 9$.
Выполним обратную замену:
$1 < 3^{\sqrt{x}} < 9$.
Представим числа 1 и 9 в виде степеней с основанием 3:
$3^0 < 3^{\sqrt{x}} < 3^2$.
Так как основание $3 > 1$, перейдем к неравенству для показателей:
$0 < \sqrt{x} < 2$.
Возведем все части неравенства в квадрат:
$0 < x < 4$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $(0; 4)$.