Номер 28.29, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.29, страница 177.

28.29. a) $log_2 x < 6 - x$;

Б) $log_3 x \ge x^3$;

В) $log_2 x \ge 6 - x$;

Г) $log_3 x < x^3$.

а) Решим неравенство $\log_2 x < 6 - x$.
1. Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$.
2. Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = 6 - x$. Нам необходимо найти интервалы, на которых график функции $f(x)$ находится ниже графика функции $g(x)$.
3. Проанализируем монотонность функций. Функция $f(x) = \log_2 x$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$. Функция $g(x) = 6 - x$ является строго убывающей на всей числовой оси.
4. Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$, то есть $\log_2 x = 6 - x$.
Методом подбора легко найти корень. Проверим $x=4$:
$\log_2 4 = 2$
$6 - 4 = 2$
Так как $2=2$, то $x=4$ — единственный корень уравнения.
5. Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то для всех $x$, меньших корня, будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$, а для всех $x$, больших корня, — неравенство $f(x) > g(x)$.
Таким образом, решение неравенства $\log_2 x < 6 - x$ есть $x < 4$.
6. Совмещая это решение с ОДЗ ($x > 0$), получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in (0; 4)$.

б) Решим неравенство $\log_3 x \ge x^3$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = x^3$.
3. Проанализируем поведение функций на области определения:
- На интервале $(0, 1)$ имеем: $f(x) = \log_3 x < 0$, а $g(x) = x^3 > 0$. Следовательно, на этом интервале всегда $f(x) < g(x)$.
- При $x = 1$ имеем: $f(1) = \log_3 1 = 0$, а $g(1) = 1^3 = 1$. Следовательно, $f(1) < g(1)$.
- На интервале $(1, +\infty)$ обе функции положительны и возрастают. Однако степенная функция $g(x)=x^3$ растет значительно быстрее логарифмической $f(x) = \log_3 x$.
4. Чтобы строго доказать, что $f(x) < g(x)$ на всей ОДЗ, рассмотрим разность функций $h(x) = f(x) - g(x) = \log_3 x - x^3$. Найдем ее производную:
$h'(x) = \frac{1}{x \ln 3} - 3x^2$.
Найдем точку, в которой производная равна нулю: $\frac{1}{x \ln 3} = 3x^2 \implies x^3 = \frac{1}{3 \ln 3}$. Эта точка $x_0 = \sqrt[3]{\frac{1}{3 \ln 3}}$ является точкой максимума функции $h(x)$, так как при переходе через нее производная меняет знак с `+` на `-`. Поскольку $\ln 3 > 1$, то $3 \ln 3 > 3$, значит $0 < \frac{1}{3 \ln 3} < 1$, и $x_0 \in (0, 1)$. Как мы уже установили, на интервале $(0, 1)$ выполняется $h(x) = \log_3 x - x^3 < 0$. Значит, и максимальное значение функции на всей области определения отрицательно.
5. Таким образом, $h(x) < 0$ для всех $x > 0$, что означает, что неравенство $\log_3 x \ge x^3$ не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

в) Решим неравенство $\log_2 x \ge 6 - x$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Это неравенство использует те же функции, что и в пункте а): $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = 6 - x$. Нам нужно найти интервалы, на которых $f(x) \ge g(x)$.
3. Из решения пункта а) мы знаем, что $f(x)$ — возрастающая, $g(x)$ — убывающая, и они пересекаются в точке $x=4$.
4. В точке $x=4$ функции равны: $\log_2 4 = 6 - 4$, то есть $2=2$. Значит, $x=4$ является решением.
5. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x > 4$ будет выполняться строгое неравенство $f(x) > g(x)$, то есть $\log_2 x > 6 - x$.
6. Объединяя оба случая, получаем, что неравенство $\log_2 x \ge 6 - x$ выполняется при $x \ge 4$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\log_3 x < x^3$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Это неравенство использует те же функции, что и в пункте б): $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = x^3$.
3. Как было строго доказано при решении пункта б), для всех $x$ из области определения $x>0$ выполняется неравенство $\log_3 x - x^3 < 0$.
4. Перенеся $x^3$ в правую часть, получаем, что неравенство $\log_3 x < x^3$ справедливо для всех $x$ из ОДЗ.
5. Следовательно, решением является вся область допустимых значений.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.