Номер 28.26, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.26, страница 177.

28.26. a) $\log^2_2 (x - 1) + 3 \log_2 (x - 1) + 2 \ge 0;$

б) $9^{\log_{0.1} x} - 4 \cdot 3^{\log_{0.1} x} + 0.1^{\log_{0.1} 3} < 0.$

а)

Дано неравенство $\log_2^2(x-1) + 3\log_2(x-1) + 2 \ge 0$.

1. Находим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$.

2. Выполним замену переменной. Пусть $t = \log_2(x-1)$. Неравенство примет вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 + 3t + 2 \ge 0$.

3. Решим полученное квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $t^2 + 3t + 2 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $t_1 = -2$ и $t_2 = -1$.

Графиком функции $y = t^2 + 3t + 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны при $t$, находящемся вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства:

$t \le -2$ или $t \ge -1$.

4. Произведем обратную замену, возвращаясь к переменной $x$. Получаем совокупность двух неравенств:

$\log_2(x-1) \le -2$

$\log_2(x-1) \ge -1$

5. Решим каждое из этих неравенств.

Для первого неравенства: $\log_2(x-1) \le -2$. Представим правую часть как логарифм по тому же основанию: $\log_2(x-1) \le \log_2(2^{-2})$. Так как основание логарифма $2 > 1$, то при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется: $x-1 \le 2^{-2} \implies x-1 \le \frac{1}{4} \implies x \le \frac{5}{4}$.

Для второго неравенства: $\log_2(x-1) \ge -1$. Аналогично: $\log_2(x-1) \ge \log_2(2^{-1})$. $x-1 \ge 2^{-1} \implies x-1 \ge \frac{1}{2} \implies x \ge \frac{3}{2}$.

6. Совместим полученные решения с ОДЗ ($x > 1$).

Для первого случая ($x \le \frac{5}{4}$) с учетом ОДЗ получаем: $1 < x \le \frac{5}{4}$.

Для второго случая ($x \ge \frac{3}{2}$) с учетом ОДЗ получаем: $x \ge \frac{3}{2}$ (так как $\frac{3}{2} > 1$).

Объединение этих двух решений и является ответом на задачу.

Ответ: $x \in (1, \frac{5}{4}] \cup [\frac{3}{2}, +\infty)$.

б)

Дано неравенство $9^{\log_{0.1} x} - 4 \cdot 3^{\log_{0.1} x} + 0.1^{\log_{0.1} 3} < 0$.

1. Находим область допустимых значений (ОДЗ):

$x > 0$.

2. Упростим неравенство. Заметим, что $9^{\log_{0.1} x} = (3^2)^{\log_{0.1} x} = (3^{\log_{0.1} x})^2$. Также используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, чтобы упростить последний член: $0.1^{\log_{0.1} 3} = 3$. Неравенство принимает вид:

$(3^{\log_{0.1} x})^2 - 4 \cdot 3^{\log_{0.1} x} + 3 < 0$.

3. Выполним замену переменной. Пусть $y = 3^{\log_{0.1} x}$. Поскольку $y$ представляет собой показательную функцию, $y > 0$. Неравенство становится квадратным относительно $y$:

$y^2 - 4y + 3 < 0$.

4. Решим это квадратное неравенство. Корнями уравнения $y^2 - 4y + 3 = 0$ являются $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$. Графиком функции $z = y^2 - 4y + 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y^2 - 4y + 3 < 0$ выполняется, когда $y$ находится между корнями:

$1 < y < 3$.

5. Выполним обратную замену:

$1 < 3^{\log_{0.1} x} < 3$.

Запишем это двойное неравенство, используя степени с основанием 3:

$3^0 < 3^{\log_{0.1} x} < 3^1$.

6. Так как основание степени $3 > 1$, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохраняя знаки неравенства:

$0 < \log_{0.1} x < 1$.

7. Решим полученное двойное логарифмическое неравенство. Основание логарифма $0.1$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому при потенцировании (переходе к аргументам) знаки неравенства меняются на противоположные:

$\log_{0.1}(1) < \log_{0.1} x < \log_{0.1}(0.1)$.

$1 > x > 0.1$, что эквивалентно $0.1 < x < 1$.

8. Полученное решение $0.1 < x < 1$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (0.1, 1)$.