Номер 28.19, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.19, страница 176.

a) $2^{x^2+3} - 8^{x+1} \ge 0$;

б) $27^{5-x^2} - 3^{x^2-1} < 0$.

a) $2^{x^2+3} - 8^{x+1} \ge 0$

Для решения данного показательного неравенства сначала преобразуем его, приведя степени к одному основанию.

Перенесем член $-8^{x+1}$ в правую часть неравенства:

$2^{x^2+3} \ge 8^{x+1}$

Представим число 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$.

$2^{x^2+3} \ge (2^3)^{x+1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим правую часть:

$2^{x^2+3} \ge 2^{3(x+1)}$

$2^{x^2+3} \ge 2^{3x+3}$

Поскольку основание степени $2 > 1$, мы можем перейти от неравенства для степеней к неравенству для их показателей, сохраняя знак неравенства:

$x^2 + 3 \ge 3x + 3$

Теперь решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 3x \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-3) \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x-3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Нанесем корни на числовую ось и определим знаки выражения $x(x-3)$ в полученных интервалах (метод интервалов). Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках 0 и 3. Следовательно, выражение неотрицательно на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty)$.

б) $27^{5-x^2} - 3^{x^2-1} < 0$

Для решения данного показательного неравенства также приведем степени к одному основанию.

Перенесем член $-3^{x^2-1}$ в правую часть:

$27^{5-x^2} < 3^{x^2-1}$

Представим число 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

$(3^3)^{5-x^2} < 3^{x^2-1}$

Упростим левую часть по свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{3(5-x^2)} < 3^{x^2-1}$

$3^{15-3x^2} < 3^{x^2-1}$

Поскольку основание степени $3 > 1$, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохраняя знак неравенства:

$15 - 3x^2 < x^2 - 1$

Решим полученное квадратное неравенство. Перенесем все члены с $x^2$ в одну сторону, а константы в другую:

$15 + 1 < x^2 + 3x^2$

$16 < 4x^2$

Разделим обе части на 4:

$4 < x^2$

Это эквивалентно неравенству $x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) > 0$

Корни соответствующего уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Используя метод интервалов (или анализируя параболу $y = x^2 - 4$ с ветвями вверх), находим, что выражение положительно на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.