Номер 28.23, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.23, страница 176.

28.23. a) $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 2 > 0;$

б) $\sqrt[5]{x} - 6\sqrt[10]{x} + 8 < 0.$

a) $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 2 > 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в неравенстве присутствует корень четной степени $\sqrt[6]{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Выражение $\sqrt[3]{x}$ определено для всех действительных $x$. Таким образом, ОДЗ неравенства: $x \in [0, +\infty)$.

2. Сделаем замену переменной. Заметим, что $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ и $\sqrt[6]{x} = x^{1/6}$, причем $x^{1/3} = (x^{1/6})^2$. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Так как $x \ge 0$, то и $t \ge 0$.

3. Подставим новую переменную в исходное неравенство. Оно примет вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 - t - 2 > 0$

4. Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$

$t_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$

Графиком функции $y = t^2 - t - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $t^2 - t - 2 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть $t < -1$ или $t > 2$.

5. Теперь учтем условие $t \ge 0$, которое следует из замены. Составим систему:

$\begin{cases} t < -1 \text{ или } t > 2 \\ t \ge 0 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает нам единственное решение для $t$: $t > 2$.

6. Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x} > 2$

Чтобы найти $x$, возведем обе части неравенства в шестую степень. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохранится:

$(\sqrt[6]{x})^6 > 2^6$

$x > 64$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in (64, +\infty)$.

б) $\sqrt[5]{x} - 6\sqrt[10]{x} + 8 < 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\sqrt[10]{x}$ определено для $x \ge 0$. Выражение $\sqrt[5]{x}$ определено для всех действительных $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \ge 0$.

2. Сделаем замену переменной. Заметим, что $\sqrt[5]{x} = (\sqrt[10]{x})^2$. Пусть $t = \sqrt[10]{x}$. Учитывая ОДЗ, имеем $t \ge 0$.

3. Подставим новую переменную в неравенство:

$t^2 - 6t + 8 < 0$

4. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 6$

$t_1 \cdot t_2 = 8$

Отсюда корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Графиком функции $y = t^2 - 6t + 8$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $t^2 - 6t + 8 < 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями: $2 < t < 4$.

5. Учтем условие $t \ge 0$. Система $\begin{cases} 2 < t < 4 \\ t \ge 0 \end{cases}$ имеет решение $2 < t < 4$.

6. Выполним обратную замену:

$2 < \sqrt[10]{x} < 4$

Чтобы найти $x$, возведем все части двойного неравенства в десятую степень. Так как все части положительны, знаки неравенства сохранятся:

$2^{10} < (\sqrt[10]{x})^{10} < 4^{10}$

$1024 < x < (2^2)^{10}$

$1024 < x < 2^{20}$

Вычислим $2^{20}$: $2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1048576$.

Таким образом, получаем $1024 < x < 1048576$.

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in (1024, 1048576)$.