Номер 28.24, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.24, страница 176.

○28.24.

a) $3^x + 3^{-x+1} \leq 4$;

б) $25^{-x} - 50 > 5^{-x+1}$.

а) $3^x + 3^{-x+1} \leq 4$

Преобразуем неравенство, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$3^x + 3^{-x} \cdot 3^1 \leq 4$

$3^x + \frac{3}{3^x} \leq 4$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Подставим $t$ в неравенство:

$t + \frac{3}{t} \leq 4$

Так как $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства:

$t^2 + 3 \leq 4t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$t^2 - 4t + 3 \leq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Парабола $y = t^2 - 4t + 3$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ выполняется между корнями (включая их):

$1 \leq t \leq 3$

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = 3^x$:

$1 \leq 3^x \leq 3$

Представим 1 и 3 в виде степени с основанием 3:

$3^0 \leq 3^x \leq 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому при переходе к показателям степени знаки неравенства сохраняются:

$0 \leq x \leq 1$

Ответ: $x \in [0; 1]$.

б) $25^{-x} - 50 > 5^{-x+1}$

Преобразуем неравенство, приведя степени к одному основанию 5:

$(5^2)^{-x} - 50 > 5^{-x} \cdot 5^1$

$(5^{-x})^2 - 50 > 5 \cdot 5^{-x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 5^{-x}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.

Подставим $y$ в неравенство:

$y^2 - 50 > 5y$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$y^2 - 5y - 50 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 5y - 50 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{5 \pm 15}{2}$

Корни равны $y_1 = \frac{5 - 15}{2} = -5$ и $y_2 = \frac{5 + 15}{2} = 10$.

Парабола $z = y^2 - 5y - 50$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y^2 - 5y - 50 > 0$ выполняется вне интервала между корнями:

$y < -5$ или $y > 10$.

Учитывая условие $y > 0$, нам подходит только решение $y > 10$.

Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $y = 5^{-x}$:

$5^{-x} > 10$

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 5. Так как основание логарифма $5 > 1$, функция $f(t)=\log_5 t$ является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:

$\log_5(5^{-x}) > \log_5(10)$

$-x > \log_5(10)$

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x < -\log_5(10)$

Ответ: $x \in (-\infty; -\log_5(10))$.