Номер 28.20, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.20, страница 176.

28.20. a) $ (\sqrt{3})^{\text{tg } x} \le \frac{3\sqrt{3}}{3^{\text{tg } x}}; $

б) $ (\sqrt{2})^{2 \cos x} > \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}}. $

а) $(\sqrt{3})^{\operatorname{tg} x} \leqslant \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\operatorname{tg} x}}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{tg} x$ определена, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь преобразуем обе части неравенства к основанию 3.
Левая часть: $(\sqrt{3})^{\operatorname{tg} x} = (3^{1/2})^{\operatorname{tg} x} = 3^{\frac{1}{2}\operatorname{tg} x}$.
Правая часть: $\frac{3 \sqrt{3}}{3^{\operatorname{tg} x}} = \frac{3^1 \cdot 3^{1/2}}{3^{\operatorname{tg} x}} = \frac{3^{3/2}}{3^{\operatorname{tg} x}} = 3^{\frac{3}{2} - \operatorname{tg} x}$.

Неравенство принимает вид:
$3^{\frac{1}{2}\operatorname{tg} x} \leqslant 3^{\frac{3}{2} - \operatorname{tg} x}$

Так как основание степени $3 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей степени, сохранив знак неравенства:
$\frac{1}{2}\operatorname{tg} x \leqslant \frac{3}{2} - \operatorname{tg} x$

Решим это неравенство относительно $\operatorname{tg} x$.
$\frac{1}{2}\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x \leqslant \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2}\operatorname{tg} x \leqslant \frac{3}{2}$
$\operatorname{tg} x \leqslant 1$

Теперь решим простейшее тригонометрическое неравенство $\operatorname{tg} x \leqslant 1$ с учетом ОДЗ.
Период функции $\operatorname{tg} x$ равен $\pi$. Рассмотрим решение на одном периоде, например, в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
В этом интервале $\operatorname{tg} x$ возрастает. Найдем, когда $\operatorname{tg} x = 1$, это происходит при $x = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ неравенство $\operatorname{tg} x \leqslant 1$ выполняется при $-\frac{\pi}{2} < x \leqslant \frac{\pi}{4}$.
Учитывая периодичность, общее решение неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $(\sqrt{2})^{2 \cos x} > \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}}$

ОДЗ для этого неравенства - все действительные числа, так как функция $\cos x$ определена для любого $x \in \mathbb{R}$.

Приведем обе части неравенства к основанию 2.
Левая часть: $(\sqrt{2})^{2 \cos x} = (2^{1/2})^{2 \cos x} = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2 \cos x} = 2^{\cos x}$.
Правая часть: $\frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}} = \frac{1}{2^{1+\cos x}} = 2^{-(1+\cos x)} = 2^{-1-\cos x}$.

Неравенство принимает вид:
$2^{\cos x} > 2^{-1-\cos x}$

Так как основание степени $2 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей степени, сохранив знак неравенства:
$\cos x > -1 - \cos x$

Решим это неравенство относительно $\cos x$.
$\cos x + \cos x > -1$
$2 \cos x > -1$
$\cos x > -\frac{1}{2}$

Теперь решим простейшее тригонометрическое неравенство $\cos x > -\frac{1}{2}$.
Найдем значения $x$, для которых $\cos x = -\frac{1}{2}$. Это происходит при $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Используя тригонометрическую окружность, видим, что $\cos x$ (абсцисса точки на окружности) больше, чем $-\frac{1}{2}$, для углов, лежащих в интервале от $-\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$.
Учитывая периодичность функции $\cos x$ (период $2\pi$), общее решение неравенства:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.