Номер 28.25, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.25, страница 176.

28.25. a) $\log_2^2 x - 7 \log_2 x + 12 < 0;$

б) $3 \log_{\frac{1}{3}}^2 x - 10 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 \geq 0.$

а)

Дано логарифмическое неравенство: $\log_2^2 x - 7 \log_2 x + 12 < 0$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным, поэтому $x > 0$.

2. Это неравенство является квадратным относительно $\log_2 x$. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Неравенство принимает вид: $t^2 - 7t + 12 < 0$.

3. Решим полученное квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Следовательно, корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Графиком функции $y = t^2 - 7t + 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше нуля находятся между корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$: $3 < t < 4$.

4. Выполним обратную замену, подставив $t = \log_2 x$: $3 < \log_2 x < 4$.

5. Решим это двойное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y=\log_2 x$ является возрастающей. При потенцировании по основанию 2 знаки неравенства сохраняются: $2^3 < x < 2^4$ $8 < x < 16$.

6. Полученный интервал $(8; 16)$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (8; 16)$.

б)

Дано логарифмическое неравенство: $3 \log_{1/3}^2 x - 10 \log_{1/3} x + 3 \ge 0$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

2. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_{1/3} x$. Неравенство примет вид: $3t^2 - 10t + 3 \ge 0$.

3. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $3t^2 - 10t + 3 = 0$. Дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$. Корни: $t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$. $t_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. $t_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Графиком функции $y = 3t^2 - 10t + 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда переменная $t$ находится за пределами интервала между корнями (включая сами корни). Таким образом, $t \le \frac{1}{3}$ или $t \ge 3$.

4. Выполним обратную замену $t = \log_{1/3} x$: $\log_{1/3} x \le \frac{1}{3}$ или $\log_{1/3} x \ge 3$.

5. Решим полученную совокупность неравенств. Основание логарифма $\frac{1}{3}$ меньше 1, поэтому функция $y = \log_{1/3} x$ является убывающей. При потенцировании по основанию $\frac{1}{3}$ знаки неравенств меняются на противоположные.

Для первого неравенства $\log_{1/3} x \le \frac{1}{3}$: $x \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3}$ $x \ge \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Для второго неравенства $\log_{1/3} x \ge 3$: $x \le \left(\frac{1}{3}\right)^3$ $x \le \frac{1}{27}$.

6. Совместим полученные решения с ОДЗ ($x > 0$). Из $x \le \frac{1}{27}$ и $x>0$ получаем $0 < x \le \frac{1}{27}$. Решение $x \ge \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ уже удовлетворяет ОДЗ.

Общим решением является объединение этих двух множеств.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{27}] \cup [\frac{1}{\sqrt[3]{3}}; +\infty)$.