Номер 28.28, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.28, страница 177.

Решите неравенство, применяя функционально-графические методы:

28.28. a) $3^x > 12 - 1,5x$;

б) $3^x > \sqrt{x}$;

в) $3^x \le 12 - 1,5x$;

г) $2^x \le \sqrt{x}$.

а) $3^x > 12 - 1,5x$

Для решения неравенства используем функционально-графический метод. Рассмотрим две функции: $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 12 - 1,5x$. Нам необходимо найти все значения $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$.

1. Функция $f(x) = 3^x$ — показательная. Она определена для всех действительных чисел ($D(f) = (-\infty; +\infty)$) и является строго возрастающей, так как ее основание $3 > 1$.

2. Функция $g(x) = 12 - 1,5x$ — линейная. Она также определена для всех действительных чисел ($D(g) = (-\infty; +\infty)$) и является строго убывающей, так как ее угловой коэффициент $-1,5 < 0$.

3. Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку пересечения, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$3^x = 12 - 1,5x$

Подбором легко найти корень. Проверим $x=2$:

Левая часть: $3^2 = 9$.

Правая часть: $12 - 1,5 \cdot 2 = 12 - 3 = 9$.

Равенство $9 = 9$ верное, следовательно, $x=2$ — единственная точка пересечения графиков.

4. Определим, на каких промежутках выполняется неравенство. Так как $f(x)$ — возрастающая функция, а $g(x)$ — убывающая, то при $x > 2$ значения $f(x)$ будут больше, чем в точке пересечения ($f(x) > 9$), а значения $g(x)$ будут меньше ($g(x) < 9$). Таким образом, при $x > 2$ выполняется неравенство $f(x) > g(x)$. Соответственно, при $x < 2$ выполняется обратное неравенство $f(x) < g(x)$.

Графически это означает, что справа от точки $x=2$ график экспоненты $y=3^x$ лежит выше прямой $y=12 - 1,5x$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б) $3^x > \sqrt{x}$

Рассмотрим функции $f(x) = 3^x$ и $g(x) = \sqrt{x}$. Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

1. Функция $f(x) = 3^x$ — показательная, строго возрастающая на всей области определения.

2. Функция $g(x) = \sqrt{x}$ — степенная, определена и строго возрастает при $x \ge 0$.

3. Нам нужно найти значения $x$ из ОДЗ, при которых график $f(x)$ расположен выше графика $g(x)$.

Проверим значение в граничной точке ОДЗ, $x=0$:

$f(0) = 3^0 = 1$

$g(0) = \sqrt{0} = 0$

Поскольку $1 > 0$, неравенство при $x=0$ выполняется.

4. Проанализируем поведение функций при $x > 0$. Хотя обе функции возрастают, скорость их роста различна. Экспоненциальная функция $3^x$ растет гораздо быстрее, чем степенная функция $\sqrt{x}$.

Чтобы строго доказать, что $3^x > \sqrt{x}$ для всех $x > 0$, рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = 3^x - \sqrt{x}$. Найдем ее наименьшее значение на промежутке $(0; +\infty)$, используя производную:

$h'(x) = 3^x \ln 3 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Приравняв производную к нулю, $3^x \ln 3 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, можно показать, что существует единственная точка минимума $x_0$. Можно также показать, что значение функции в этой точке $h(x_0)$ положительно. Поскольку $h(0) = 1 > 0$ и минимальное значение функции при $x>0$ также положительно, то $h(x) > 0$ для всех $x \ge 0$.

Следовательно, график функции $y=3^x$ всегда расположен выше графика функции $y=\sqrt{x}$ на всей области определения неравенства.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

в) $3^x \le 12 - 1,5x$

Данное неравенство использует те же функции, что и в пункте а): $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 12 - 1,5x$.

Как было установлено в решении пункта а), функция $f(x)$ — строго возрастающая, а $g(x)$ — строго убывающая. Их графики пересекаются в единственной точке с абсциссой $x=2$.

В данном случае нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен не выше (то есть ниже или на одном уровне) графика функции $g(x)$.

Учитывая характер монотонности функций, неравенство $f(x) \le g(x)$ будет выполняться для всех значений $x$, которые меньше или равны абсциссе точки пересечения.

Графически это означает, что слева от точки $x=2$ (и в самой точке) график экспоненты $y=3^x$ лежит не выше прямой $y=12 - 1,5x$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

г) $2^x \le \sqrt{x}$

Рассмотрим функции $f(x) = 2^x$ и $g(x) = \sqrt{x}$. Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $x \ge 0$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $f(x)$ лежит не выше графика $g(x)$.

1. Функция $f(x) = 2^x$ — показательная, строго возрастающая.

2. Функция $g(x) = \sqrt{x}$ — степенная, строго возрастающая при $x \ge 0$.

3. Проверим поведение функций в точке $x=0$:

$f(0) = 2^0 = 1$

$g(0) = \sqrt{0} = 0$

Неравенство $1 \le 0$ является ложным, значит $x=0$ не является решением.

4. Для $x > 0$ рассмотрим взаимное расположение графиков. График $f(x)=2^x$ проходит через точку $(0, 1)$, а график $g(x)=\sqrt{x}$ — через $(0, 0)$. При $x \to 0^+$ график $g(x)$ имеет вертикальную касательную, в то время как касательная к $f(x)$ имеет конечный наклон ($f'(0) = \ln 2 \approx 0.69$).

Несмотря на это, в точке $x=0$ значение $f(x)$ уже больше, чем $g(x)$. Проверим другие точки, например $x=1$: $f(1) = 2$, $g(1) = 1$. Видим, что $f(1) > g(1)$.

Рассмотрим разность функций $h(x) = 2^x - \sqrt{x}$. Как и в пункте б), можно с помощью производной показать, что наименьшее значение функции $h(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$ является положительным. Это означает, что $h(x) = 2^x - \sqrt{x} > 0$ для всех $x \ge 0$.

Таким образом, график функции $y=2^x$ всегда расположен строго выше графика функции $y=\sqrt{x}$. Не существует таких значений $x$, при которых $2^x \le \sqrt{x}$.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).