Страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

28.26. a) $\log^2_2 (x - 1) + 3 \log_2 (x - 1) + 2 \ge 0;$

б) $9^{\log_{0.1} x} - 4 \cdot 3^{\log_{0.1} x} + 0.1^{\log_{0.1} 3} < 0.$

а)

Дано неравенство $\log_2^2(x-1) + 3\log_2(x-1) + 2 \ge 0$.

1. Находим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$.

2. Выполним замену переменной. Пусть $t = \log_2(x-1)$. Неравенство примет вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 + 3t + 2 \ge 0$.

3. Решим полученное квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $t^2 + 3t + 2 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $t_1 = -2$ и $t_2 = -1$.

Графиком функции $y = t^2 + 3t + 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны при $t$, находящемся вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства:

$t \le -2$ или $t \ge -1$.

4. Произведем обратную замену, возвращаясь к переменной $x$. Получаем совокупность двух неравенств:

$\log_2(x-1) \le -2$

$\log_2(x-1) \ge -1$

5. Решим каждое из этих неравенств.

Для первого неравенства: $\log_2(x-1) \le -2$. Представим правую часть как логарифм по тому же основанию: $\log_2(x-1) \le \log_2(2^{-2})$. Так как основание логарифма $2 > 1$, то при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется: $x-1 \le 2^{-2} \implies x-1 \le \frac{1}{4} \implies x \le \frac{5}{4}$.

Для второго неравенства: $\log_2(x-1) \ge -1$. Аналогично: $\log_2(x-1) \ge \log_2(2^{-1})$. $x-1 \ge 2^{-1} \implies x-1 \ge \frac{1}{2} \implies x \ge \frac{3}{2}$.

6. Совместим полученные решения с ОДЗ ($x > 1$).

Для первого случая ($x \le \frac{5}{4}$) с учетом ОДЗ получаем: $1 < x \le \frac{5}{4}$.

Для второго случая ($x \ge \frac{3}{2}$) с учетом ОДЗ получаем: $x \ge \frac{3}{2}$ (так как $\frac{3}{2} > 1$).

Объединение этих двух решений и является ответом на задачу.

Ответ: $x \in (1, \frac{5}{4}] \cup [\frac{3}{2}, +\infty)$.

б)

Дано неравенство $9^{\log_{0.1} x} - 4 \cdot 3^{\log_{0.1} x} + 0.1^{\log_{0.1} 3} < 0$.

1. Находим область допустимых значений (ОДЗ):

$x > 0$.

2. Упростим неравенство. Заметим, что $9^{\log_{0.1} x} = (3^2)^{\log_{0.1} x} = (3^{\log_{0.1} x})^2$. Также используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, чтобы упростить последний член: $0.1^{\log_{0.1} 3} = 3$. Неравенство принимает вид:

$(3^{\log_{0.1} x})^2 - 4 \cdot 3^{\log_{0.1} x} + 3 < 0$.

3. Выполним замену переменной. Пусть $y = 3^{\log_{0.1} x}$. Поскольку $y$ представляет собой показательную функцию, $y > 0$. Неравенство становится квадратным относительно $y$:

$y^2 - 4y + 3 < 0$.

4. Решим это квадратное неравенство. Корнями уравнения $y^2 - 4y + 3 = 0$ являются $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$. Графиком функции $z = y^2 - 4y + 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y^2 - 4y + 3 < 0$ выполняется, когда $y$ находится между корнями:

$1 < y < 3$.

5. Выполним обратную замену:

$1 < 3^{\log_{0.1} x} < 3$.

Запишем это двойное неравенство, используя степени с основанием 3:

$3^0 < 3^{\log_{0.1} x} < 3^1$.

6. Так как основание степени $3 > 1$, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохраняя знаки неравенства:

$0 < \log_{0.1} x < 1$.

7. Решим полученное двойное логарифмическое неравенство. Основание логарифма $0.1$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому при потенцировании (переходе к аргументам) знаки неравенства меняются на противоположные:

$\log_{0.1}(1) < \log_{0.1} x < \log_{0.1}(0.1)$.

$1 > x > 0.1$, что эквивалентно $0.1 < x < 1$.

8. Полученное решение $0.1 < x < 1$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (0.1, 1)$.

28.27. a) $2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 \le 0;$

б) $\cos^2 x - 5 \cos x + 4 \le 0.$

а) $2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 \le 0$

Данное неравенство является квадратным относительно $\sin x$. Произведем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус есть отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$.

После замены неравенство принимает вид:

$2t^2 - 3t + 1 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $2t^2 - 3t + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1$

Графиком функции $y = 2t^2 - 3t + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $2t^2 - 3t + 1 \le 0$ выполняется при значениях $t$, находящихся между корнями, включая сами корни. То есть, $\frac{1}{2} \le t \le 1$.

Это решение полностью удовлетворяет ранее указанному ограничению $-1 \le t \le 1$.

Теперь выполним обратную замену:

$\frac{1}{2} \le \sin x \le 1$

Решением этого двойного тригонометрического неравенства являются все значения $x$, для которых синус находится в указанном промежутке. На единичной окружности этому условию соответствуют точки дуги от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$. Учитывая периодичность функции синус ($2\pi$), общее решение можно записать в виде интервала.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 x - 5 \cos x + 4 \le 0$

Данное неравенство является квадратным относительно $\cos x$. Произведем замену переменной: пусть $y = \cos x$. Область значений косинуса — отрезок $[-1, 1]$, поэтому $-1 \le y \le 1$.

После замены получаем квадратное неравенство:

$y^2 - 5y + 4 \le 0$

Найдем корни уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Графиком функции $z = y^2 - 5y + 4$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $y^2 - 5y + 4 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $1 \le y \le 4$.

Теперь необходимо совместить полученное решение с ограничением на $y$: $\begin{cases} 1 \le y \le 4 \\ -1 \le y \le 1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является единственное значение $y = 1$.

Выполним обратную замену:

$\cos x = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решениями которого являются точки вида $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Решите неравенство, применяя функционально-графические методы:

28.28. a) $3^x > 12 - 1,5x$;

б) $3^x > \sqrt{x}$;

в) $3^x \le 12 - 1,5x$;

г) $2^x \le \sqrt{x}$.

а) $3^x > 12 - 1,5x$

Для решения неравенства используем функционально-графический метод. Рассмотрим две функции: $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 12 - 1,5x$. Нам необходимо найти все значения $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$.

1. Функция $f(x) = 3^x$ — показательная. Она определена для всех действительных чисел ($D(f) = (-\infty; +\infty)$) и является строго возрастающей, так как ее основание $3 > 1$.

2. Функция $g(x) = 12 - 1,5x$ — линейная. Она также определена для всех действительных чисел ($D(g) = (-\infty; +\infty)$) и является строго убывающей, так как ее угловой коэффициент $-1,5 < 0$.

3. Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку пересечения, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$3^x = 12 - 1,5x$

Подбором легко найти корень. Проверим $x=2$:

Левая часть: $3^2 = 9$.

Правая часть: $12 - 1,5 \cdot 2 = 12 - 3 = 9$.

Равенство $9 = 9$ верное, следовательно, $x=2$ — единственная точка пересечения графиков.

4. Определим, на каких промежутках выполняется неравенство. Так как $f(x)$ — возрастающая функция, а $g(x)$ — убывающая, то при $x > 2$ значения $f(x)$ будут больше, чем в точке пересечения ($f(x) > 9$), а значения $g(x)$ будут меньше ($g(x) < 9$). Таким образом, при $x > 2$ выполняется неравенство $f(x) > g(x)$. Соответственно, при $x < 2$ выполняется обратное неравенство $f(x) < g(x)$.

Графически это означает, что справа от точки $x=2$ график экспоненты $y=3^x$ лежит выше прямой $y=12 - 1,5x$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б) $3^x > \sqrt{x}$

Рассмотрим функции $f(x) = 3^x$ и $g(x) = \sqrt{x}$. Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

1. Функция $f(x) = 3^x$ — показательная, строго возрастающая на всей области определения.

2. Функция $g(x) = \sqrt{x}$ — степенная, определена и строго возрастает при $x \ge 0$.

3. Нам нужно найти значения $x$ из ОДЗ, при которых график $f(x)$ расположен выше графика $g(x)$.

Проверим значение в граничной точке ОДЗ, $x=0$:

$f(0) = 3^0 = 1$

$g(0) = \sqrt{0} = 0$

Поскольку $1 > 0$, неравенство при $x=0$ выполняется.

4. Проанализируем поведение функций при $x > 0$. Хотя обе функции возрастают, скорость их роста различна. Экспоненциальная функция $3^x$ растет гораздо быстрее, чем степенная функция $\sqrt{x}$.

Чтобы строго доказать, что $3^x > \sqrt{x}$ для всех $x > 0$, рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = 3^x - \sqrt{x}$. Найдем ее наименьшее значение на промежутке $(0; +\infty)$, используя производную:

$h'(x) = 3^x \ln 3 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Приравняв производную к нулю, $3^x \ln 3 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, можно показать, что существует единственная точка минимума $x_0$. Можно также показать, что значение функции в этой точке $h(x_0)$ положительно. Поскольку $h(0) = 1 > 0$ и минимальное значение функции при $x>0$ также положительно, то $h(x) > 0$ для всех $x \ge 0$.

Следовательно, график функции $y=3^x$ всегда расположен выше графика функции $y=\sqrt{x}$ на всей области определения неравенства.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

в) $3^x \le 12 - 1,5x$

Данное неравенство использует те же функции, что и в пункте а): $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 12 - 1,5x$.

Как было установлено в решении пункта а), функция $f(x)$ — строго возрастающая, а $g(x)$ — строго убывающая. Их графики пересекаются в единственной точке с абсциссой $x=2$.

В данном случае нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен не выше (то есть ниже или на одном уровне) графика функции $g(x)$.

Учитывая характер монотонности функций, неравенство $f(x) \le g(x)$ будет выполняться для всех значений $x$, которые меньше или равны абсциссе точки пересечения.

Графически это означает, что слева от точки $x=2$ (и в самой точке) график экспоненты $y=3^x$ лежит не выше прямой $y=12 - 1,5x$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

г) $2^x \le \sqrt{x}$

Рассмотрим функции $f(x) = 2^x$ и $g(x) = \sqrt{x}$. Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $x \ge 0$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $f(x)$ лежит не выше графика $g(x)$.

1. Функция $f(x) = 2^x$ — показательная, строго возрастающая.

2. Функция $g(x) = \sqrt{x}$ — степенная, строго возрастающая при $x \ge 0$.

3. Проверим поведение функций в точке $x=0$:

$f(0) = 2^0 = 1$

$g(0) = \sqrt{0} = 0$

Неравенство $1 \le 0$ является ложным, значит $x=0$ не является решением.

4. Для $x > 0$ рассмотрим взаимное расположение графиков. График $f(x)=2^x$ проходит через точку $(0, 1)$, а график $g(x)=\sqrt{x}$ — через $(0, 0)$. При $x \to 0^+$ график $g(x)$ имеет вертикальную касательную, в то время как касательная к $f(x)$ имеет конечный наклон ($f'(0) = \ln 2 \approx 0.69$).

Несмотря на это, в точке $x=0$ значение $f(x)$ уже больше, чем $g(x)$. Проверим другие точки, например $x=1$: $f(1) = 2$, $g(1) = 1$. Видим, что $f(1) > g(1)$.

Рассмотрим разность функций $h(x) = 2^x - \sqrt{x}$. Как и в пункте б), можно с помощью производной показать, что наименьшее значение функции $h(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$ является положительным. Это означает, что $h(x) = 2^x - \sqrt{x} > 0$ для всех $x \ge 0$.

Таким образом, график функции $y=2^x$ всегда расположен строго выше графика функции $y=\sqrt{x}$. Не существует таких значений $x$, при которых $2^x \le \sqrt{x}$.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).

28.29. a) $log_2 x < 6 - x$;

Б) $log_3 x \ge x^3$;

В) $log_2 x \ge 6 - x$;

Г) $log_3 x < x^3$.

а) Решим неравенство $\log_2 x < 6 - x$.
1. Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$.
2. Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = 6 - x$. Нам необходимо найти интервалы, на которых график функции $f(x)$ находится ниже графика функции $g(x)$.
3. Проанализируем монотонность функций. Функция $f(x) = \log_2 x$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$. Функция $g(x) = 6 - x$ является строго убывающей на всей числовой оси.
4. Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$, то есть $\log_2 x = 6 - x$.
Методом подбора легко найти корень. Проверим $x=4$:
$\log_2 4 = 2$
$6 - 4 = 2$
Так как $2=2$, то $x=4$ — единственный корень уравнения.
5. Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то для всех $x$, меньших корня, будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$, а для всех $x$, больших корня, — неравенство $f(x) > g(x)$.
Таким образом, решение неравенства $\log_2 x < 6 - x$ есть $x < 4$.
6. Совмещая это решение с ОДЗ ($x > 0$), получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in (0; 4)$.

б) Решим неравенство $\log_3 x \ge x^3$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = x^3$.
3. Проанализируем поведение функций на области определения:
- На интервале $(0, 1)$ имеем: $f(x) = \log_3 x < 0$, а $g(x) = x^3 > 0$. Следовательно, на этом интервале всегда $f(x) < g(x)$.
- При $x = 1$ имеем: $f(1) = \log_3 1 = 0$, а $g(1) = 1^3 = 1$. Следовательно, $f(1) < g(1)$.
- На интервале $(1, +\infty)$ обе функции положительны и возрастают. Однако степенная функция $g(x)=x^3$ растет значительно быстрее логарифмической $f(x) = \log_3 x$.
4. Чтобы строго доказать, что $f(x) < g(x)$ на всей ОДЗ, рассмотрим разность функций $h(x) = f(x) - g(x) = \log_3 x - x^3$. Найдем ее производную:
$h'(x) = \frac{1}{x \ln 3} - 3x^2$.
Найдем точку, в которой производная равна нулю: $\frac{1}{x \ln 3} = 3x^2 \implies x^3 = \frac{1}{3 \ln 3}$. Эта точка $x_0 = \sqrt[3]{\frac{1}{3 \ln 3}}$ является точкой максимума функции $h(x)$, так как при переходе через нее производная меняет знак с `+` на `-`. Поскольку $\ln 3 > 1$, то $3 \ln 3 > 3$, значит $0 < \frac{1}{3 \ln 3} < 1$, и $x_0 \in (0, 1)$. Как мы уже установили, на интервале $(0, 1)$ выполняется $h(x) = \log_3 x - x^3 < 0$. Значит, и максимальное значение функции на всей области определения отрицательно.
5. Таким образом, $h(x) < 0$ для всех $x > 0$, что означает, что неравенство $\log_3 x \ge x^3$ не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

в) Решим неравенство $\log_2 x \ge 6 - x$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Это неравенство использует те же функции, что и в пункте а): $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = 6 - x$. Нам нужно найти интервалы, на которых $f(x) \ge g(x)$.
3. Из решения пункта а) мы знаем, что $f(x)$ — возрастающая, $g(x)$ — убывающая, и они пересекаются в точке $x=4$.
4. В точке $x=4$ функции равны: $\log_2 4 = 6 - 4$, то есть $2=2$. Значит, $x=4$ является решением.
5. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x > 4$ будет выполняться строгое неравенство $f(x) > g(x)$, то есть $\log_2 x > 6 - x$.
6. Объединяя оба случая, получаем, что неравенство $\log_2 x \ge 6 - x$ выполняется при $x \ge 4$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\log_3 x < x^3$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Это неравенство использует те же функции, что и в пункте б): $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = x^3$.
3. Как было строго доказано при решении пункта б), для всех $x$ из области определения $x>0$ выполняется неравенство $\log_3 x - x^3 < 0$.
4. Перенеся $x^3$ в правую часть, получаем, что неравенство $\log_3 x < x^3$ справедливо для всех $x$ из ОДЗ.
5. Следовательно, решением является вся область допустимых значений.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

28.30. a) $ \lg x < \frac{1}{x} - 1; $

б) $ \log_{1,6} x \ge \frac{1}{x} - 1. $

а) $\lg x < \frac{1}{x} - 1$

Для решения данного неравенства воспользуемся функционально-графическим методом. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, $x > 0$. Знаменатель дроби в правой части не должен быть равен нулю, $x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ неравенства: $x \in (0, \infty)$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям неравенства:

$f(x) = \lg x$

$g(x) = \frac{1}{x} - 1$

Проанализируем свойства этих функций на ОДЗ:

• Функция $f(x) = \lg x$ является логарифмической с основанием $10 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей своей области определения $(0, \infty)$.
• Функция $g(x) = \frac{1}{x} - 1$ является убывающей на промежутке $(0, \infty)$.

Найдем точку пересечения графиков этих функций, для чего решим уравнение $f(x) = g(x)$:

$\lg x = \frac{1}{x} - 1$

Это трансцендентное уравнение. Можно заметить, что $x=1$ является его корнем, так как:

$f(1) = \lg 1 = 0$

$g(1) = \frac{1}{1} - 1 = 0$

Поскольку возрастающая функция $f(x)$ и убывающая функция $g(x)$ могут пересечься не более одного раза, $x=1$ является единственным решением уравнения.

Точка пересечения $x=1$ разбивает ОДЗ на два интервала: $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Определим, на каком из них выполняется исходное неравенство $f(x) < g(x)$.

• При $x \in (0, 1)$: $f(x) = \lg x < \lg 1 = 0$ (принимает отрицательные значения). В то же время $g(x) = \frac{1}{x} - 1 > \frac{1}{1} - 1 = 0$ (принимает положительные значения). Таким образом, на этом интервале $f(x) < 0 < g(x)$, и неравенство $f(x) < g(x)$ всегда выполняется.
• При $x \in (1, \infty)$: $f(x) = \lg x > \lg 1 = 0$ (принимает положительные значения). В то же время $g(x) = \frac{1}{x} - 1 < \frac{1}{1} - 1 = 0$ (принимает отрицательные значения). Таким образом, на этом интервале $f(x) > 0 > g(x)$, и неравенство $f(x) < g(x)$ никогда не выполняется.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(0, 1)$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

б) $\log_{1.6} x \geq \frac{1}{x} - 1$

Решим это неравенство аналогично предыдущему, используя функционально-графический метод. ОДЗ неравенства определяется условием $x > 0$, то есть $x \in (0, \infty)$.

Введем две функции:

$f(x) = \log_{1.6} x$

$g(x) = \frac{1}{x} - 1$

Проанализируем их свойства на ОДЗ:

• Функция $f(x) = \log_{1.6} x$ является логарифмической с основанием $1.6 > 1$, следовательно, она строго возрастает на $(0, \infty)$.
• Функция $g(x) = \frac{1}{x} - 1$ является убывающей на $(0, \infty)$.

Найдем точку их пересечения, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$\log_{1.6} x = \frac{1}{x} - 1$

Методом подбора находим корень $x=1$:

$f(1) = \log_{1.6} 1 = 0$

$g(1) = \frac{1}{1} - 1 = 0$

Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, их графики пересекаются только в одной точке $x=1$.

Теперь решим неравенство $f(x) \geq g(x)$.

• При $x \in (0, 1)$: $f(x) = \log_{1.6} x < 0$, а $g(x) = \frac{1}{x} - 1 > 0$. Следовательно, $f(x) < g(x)$, и неравенство не выполняется.
• При $x=1$: $f(1) = 0$ и $g(1) = 0$. Неравенство $0 \geq 0$ верно, значит $x=1$ является решением.
• При $x \in (1, \infty)$: $f(x) = \log_{1.6} x > 0$, а $g(x) = \frac{1}{x} - 1 < 0$. Следовательно, $f(x) > g(x)$, и неравенство выполняется.

Объединяя результаты, получаем, что неравенство выполняется для всех $x \geq 1$.

Ответ: $x \in [1, \infty)$.

28.31. Найдите область определения функции:

a) $y = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{\log_7 (2 - x)};$

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\log_8 (x - 3)}.$

а)

Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{\log_7(2 - x)}$ необходимо учесть три условия, которые должны выполняться одновременно:

1. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным.
2. Аргумент логарифма в знаменателе должен быть строго положительным.
3. Знаменатель не должен быть равен нулю.

Запишем эти условия в виде системы неравенств:

$\begin{cases}9 - x^2 \ge 0, \\2 - x > 0, \\\log_7(2 - x) \ne 0.\end{cases}$

Решим каждое условие системы:

1. $9 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 9$. Это неравенство выполняется при $x$, находящемся между корнями уравнения $x^2 = 9$, то есть $x = -3$ и $x = 3$. Таким образом, $-3 \le x \le 3$, или $x \in [-3, 3]$.

2. $2 - x > 0 \implies 2 > x$, или $x < 2$. В виде интервала это записывается как $x \in (-\infty, 2)$.

3. $\log_7(2 - x) \ne 0$. Логарифм равен нулю, если его аргумент равен 1. Следовательно, $2 - x \ne 1 \implies x \ne 1$.

Теперь найдем пересечение всех полученных решений. Нам нужно найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \in [-3, 3]$, $x < 2$ и $x \ne 1$.

Пересечение интервалов $[-3, 3]$ и $(-\infty, 2)$ дает промежуток $[-3, 2)$.

Из этого промежутка необходимо исключить точку $x=1$.

В результате получаем объединение двух промежутков: от -3 включительно до 1, и от 1 до 2.

Ответ: $[-3, 1) \cup (1, 2)$.

б)

Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\log_8(x - 3)}$ также необходимо выполнить три условия:

1. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным.
2. Аргумент логарифма в знаменателе должен быть строго положительным.
3. Знаменатель не должен быть равен нулю.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 - 4 \ge 0, \\x - 3 > 0, \\\log_8(x - 3) \ne 0.\end{cases}$

Решим каждое условие системы:

1. $x^2 - 4 \ge 0 \implies (x-2)(x+2) \ge 0$. Парабола $y = x^2 - 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 2$. В виде объединения интервалов это $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. $x - 3 > 0 \implies x > 3$. В виде интервала это $x \in (3, \infty)$.

3. $\log_8(x - 3) \ne 0$. Это означает, что аргумент логарифма не должен быть равен 1. Итак, $x - 3 \ne 1 \implies x \ne 4$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$, $x > 3$ и $x \ne 4$.

Пересечение множества $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ с интервалом $(3, \infty)$ дает интервал $(3, \infty)$, так как все числа больше 3 автоматически больше 2.

Теперь из полученного интервала $(3, \infty)$ нужно исключить точку $x=4$.

Это разбивает интервал на две части: от 3 до 4 и от 4 до бесконечности.

Ответ: $(3, 4) \cup (4, \infty)$.

Решите неравенство:

28.32. a) $x^2 + 1 \geq \cos x;$

в) $x^2 + 1 \leq \cos x;$

б) $\sin x \leq - \left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2 - 1;$

г) $\sin x \geq - \left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2 - 1.$

а) $x^2 + 1 \ge \cos x$
Для решения данного неравенства воспользуемся методом оценки. Рассмотрим левую и правую части неравенства как отдельные функции.
Левая часть: $f(x) = x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то минимальное значение функции $f(x)$ равно $0^2+1=1$. Таким образом, $x^2+1 \ge 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Правая часть: $g(x) = \cos x$. Область значений функции косинус – это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, $\cos x \le 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Мы получили, что левая часть неравенства всегда больше или равна 1, а правая часть всегда меньше или равна 1. То есть, $x^2+1 \ge 1 \ge \cos x$.
Это означает, что неравенство $x^2 + 1 \ge \cos x$ справедливо для любого действительного значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $\sin x \le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$
Применим метод оценки.
Левая часть: $f(x) = \sin x$. Область значений этой функции – отрезок $[-1, 1]$, следовательно, $\sin x \ge -1$.
Правая часть: $g(x) = -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$. Выражение $\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2$ всегда неотрицательно: $\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 \ge 0$. Тогда $-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 \le 0$. Отсюда следует, что $g(x) = -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1 \le -1$. Максимальное значение правой части равно $-1$ и достигается при $x = -\frac{\pi}{2}$.
Неравенство $\sin x \le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$ может выполняться только в том случае, когда обе его части равны, так как левая часть всегда не меньше $-1$, а правая – не больше $-1$. Это возможно только если обе части равны $-1$.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} \sin x = -1 \\ -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1 = -1 \end{cases}$
Из второго уравнения: $-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 = 0 \implies x+\frac{\pi}{2}=0 \implies x = -\frac{\pi}{2}$.
Подставим найденное значение в первое уравнение, чтобы проверить: $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
Условие выполнено. Значит, система имеет единственное решение.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$.

в) $x^2 + 1 \le \cos x$
Используем метод оценки, как в пункте а).
Левая часть: $f(x) = x^2 + 1$. Область значений $[1, +\infty)$, то есть $x^2+1 \ge 1$.
Правая часть: $g(x) = \cos x$. Область значений $[-1, 1]$, то есть $\cos x \le 1$.
Неравенство $x^2 + 1 \le \cos x$ может быть верным только в том случае, если левая часть (которая $\ge 1$) равна правой части (которая $\le 1$). Это возможно только при условии, что обе части одновременно равны 1.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 + 1 = 1 \\ \cos x = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения находим: $x^2 = 0 \implies x = 0$.
Проверяем это значение во втором уравнении: $\cos(0) = 1$.
Условие выполнено. Следовательно, система имеет единственное решение.
Ответ: $x=0$.

г) $\sin x \ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$
Воспользуемся методом оценки, как в пункте б).
Левая часть: $f(x) = \sin x$. Область значений $[-1, 1]$, то есть $\sin x \ge -1$.
Правая часть: $g(x) = -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$. Область значений $(-\infty, -1]$, то есть $-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1 \le -1$.
Таким образом, для любого действительного числа $x$ левая часть неравенства всегда не меньше $-1$, а правая часть всегда не больше $-1$.
Получаем цепочку неравенств: $\sin x \ge -1 \ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$.
Следовательно, неравенство $\sin x \ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2 - 1$ справедливо для любого действительного значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

28.33. a) $3^{\sin^2 x} \ge \cos x;$

б) $\sqrt{x^2 + 1} \le \cos x;$

в) $3^{\sin^2 x} \le \cos x;$

г) $\sqrt{x^2 + 1} \ge \sin x.$

а) $3^{\sin^2 x} \ge \cos x$

Рассмотрим левую и правую части неравенства.
Для левой части $f(x) = 3^{\sin^2 x}$: известно, что область значений функции $\sin^2 x$ есть отрезок $[0, 1]$. Поскольку показательная функция $y=3^t$ с основанием $3 > 1$ является возрастающей, область значений функции $f(x)$ есть отрезок $[3^0, 3^1]$, то есть $[1, 3]$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $3^{\sin^2 x} \ge 1$.
Для правой части $g(x) = \cos x$: область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $\cos x \le 1$.
Сравнивая обе части, получаем: $3^{\sin^2 x} \ge 1 \ge \cos x$.
Отсюда следует, что исходное неравенство $3^{\sin^2 x} \ge \cos x$ верно для всех действительных чисел $x$.
Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

б) $\sqrt{x^2 + 1} \le \cos x$

Оценим значения левой и правой частей неравенства.
Левая часть $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$: так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, $\sqrt{x^2 + 1} \ge \sqrt{1} = 1$. Минимальное значение левой части равно 1 и достигается только при $x=0$.
Правая часть $g(x) = \cos x$: область значений функции косинус есть $[-1, 1]$, то есть $\cos x \le 1$. Максимальное значение правой части равно 1.
Неравенство $\sqrt{x^2 + 1} \le \cos x$ может выполняться только в том случае, когда обе части принимают свое предельное значение, равное 1, так как левая часть всегда не меньше 1, а правая — не больше 1.
Это эквивалентно системе уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{x^2 + 1} = 1 \\ \cos x = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения: $x^2 + 1 = 1 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$.
Из второго уравнения: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=0$ (при $k=0$).
Ответ: $x = 0$.

в) $3^{\sin^2 x} \le \cos x$

Как и в пункте а), оценим области значений левой и правой частей.
Левая часть: $3^{\sin^2 x} \ge 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Правая часть: $\cos x \le 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Неравенство $3^{\sin^2 x} \le \cos x$ может иметь решение только в случае, если обе его части равны 1.
Это приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} 3^{\sin^2 x} = 1 \\ \cos x = 1 \end{cases}$
Решим первое уравнение: $3^{\sin^2 x} = 3^0 \implies \sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0$. Решениями этого уравнения являются $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Решения второго уравнения $\cos x = 1$ имеют вид $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для нахождения решения неравенства необходимо найти пересечение множеств решений этих двух уравнений. Общими решениями будут $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, так как любое число вида $2\pi k$ также является числом вида $\pi n$ (при $n=2k$).
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{x^2 + 1} \ge \sin x$

Снова оценим значения левой и правой частей неравенства.
Левая часть $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$: мы знаем, что $x^2 \ge 0$, поэтому $x^2+1 \ge 1$ и, следовательно, $\sqrt{x^2+1} \ge 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Правая часть $g(x) = \sin x$: область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $\sin x \le 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Получаем, что $\sqrt{x^2 + 1} \ge 1$, а $\sin x \le 1$.
Так как левая часть неравенства всегда не меньше 1, а правая часть всегда не больше 1, то неравенство $\sqrt{x^2 + 1} \ge \sin x$ выполняется для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

28.34. a) $9^{x+2} + 4 \cdot 3^{2x+2} \ge 4 \frac{1}{3};$

б) $8^{x-2} + 3 \cdot 2^{3x-2} \le 24 \frac{1}{2}.$

a) $9^{x+2} + 4 \cdot 3^{2x+2} \ge 4\frac{1}{3}$
Преобразуем неравенство, приведя все степени к одному основанию 3.
$9^{x+2} = (3^2)^{x+2} = 3^{2(x+2)} = 3^{2x+4} = 3^{2x} \cdot 3^4 = 81 \cdot 3^{2x}$
$4 \cdot 3^{2x+2} = 4 \cdot 3^{2x} \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 \cdot 3^{2x} = 36 \cdot 3^{2x}$
Представим смешанную дробь в правой части в виде неправильной дроби: $4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$.
Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:
$81 \cdot 3^{2x} + 36 \cdot 3^{2x} \ge \frac{13}{3}$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(81 + 36) \cdot 3^{2x} \ge \frac{13}{3}$
$117 \cdot 3^{2x} \ge \frac{13}{3}$
Разделим обе части неравенства на 117:
$3^{2x} \ge \frac{13}{3 \cdot 117}$
Сократим дробь, учитывая, что $117 = 9 \cdot 13$:
$3^{2x} \ge \frac{13}{3 \cdot 9 \cdot 13}$
$3^{2x} \ge \frac{1}{27}$
Представим правую часть в виде степени с основанием 3:
$3^{2x} \ge 3^{-3}$
Поскольку основание степени $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$2x \ge -3$
$x \ge -\frac{3}{2}$
Ответ: $x \in [-\frac{3}{2}; +\infty)$.

б) $8^{x-2} + 3 \cdot 2^{3x-2} \le 24\frac{1}{2}$
Преобразуем неравенство, приведя все степени к одному основанию 2.
$8^{x-2} = (2^3)^{x-2} = 2^{3(x-2)} = 2^{3x-6}$
Представим смешанную дробь в правой части в виде неправильной дроби: $24\frac{1}{2} = \frac{24 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{49}{2}$.
Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:
$2^{3x-6} + 3 \cdot 2^{3x-2} \le \frac{49}{2}$
Используя свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$, вынесем общий множитель:
$2^{3x} \cdot 2^{-6} + 3 \cdot 2^{3x} \cdot 2^{-2} \le \frac{49}{2}$
$2^{3x} \cdot \frac{1}{64} + 3 \cdot 2^{3x} \cdot \frac{1}{4} \le \frac{49}{2}$
Вынесем $2^{3x}$ за скобки:
$2^{3x} (\frac{1}{64} + \frac{3}{4}) \le \frac{49}{2}$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$2^{3x} (\frac{1}{64} + \frac{48}{64}) \le \frac{49}{2}$
$2^{3x} \cdot \frac{49}{64} \le \frac{49}{2}$
Разделим обе части неравенства на $\frac{49}{64}$ (что эквивалентно умножению на $\frac{64}{49}$):
$2^{3x} \le \frac{49}{2} \cdot \frac{64}{49}$
$2^{3x} \le \frac{64}{2}$
$2^{3x} \le 32$
Представим правую часть в виде степени с основанием 2:
$2^{3x} \le 2^5$
Поскольку основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$3x \le 5$
$x \le \frac{5}{3}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{3}]$.

28.35. a) $4^{\sqrt{x}} - 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 < 0;$

б) $9^{\sqrt{x}} - 10 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 9 < 0.$

а) Решим неравенство $4^{\sqrt{x}} - 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 < 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования квадратного корня: $x \ge 0$.
Заметим, что $4^{\sqrt{x}} = (2^2)^{\sqrt{x}} = (2^{\sqrt{x}})^2$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = 2^{\sqrt{x}}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $t = 2^{\sqrt{x}} \ge 2^0 = 1$.
Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:
$t^2 - 9t + 8 < 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.
Парабола $y = t^2 - 9t + 8$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 9t + 8 < 0$ выполняется между корнями:
$1 < t < 8$.
С учетом условия $t \ge 1$, получаем то же самое решение для $t$: $1 < t < 8$.
Выполним обратную замену:
$1 < 2^{\sqrt{x}} < 8$.
Представим числа 1 и 8 в виде степеней с основанием 2:
$2^0 < 2^{\sqrt{x}} < 2^3$.
Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей степени:
$0 < \sqrt{x} < 3$.
Поскольку все части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:
$0^2 < (\sqrt{x})^2 < 3^2$,
$0 < x < 9$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $(0; 9)$.

б) Решим неравенство $9^{\sqrt{x}} - 10 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 9 < 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
Заметим, что $9^{\sqrt{x}} = (3^2)^{\sqrt{x}} = (3^{\sqrt{x}})^2$. Сделаем замену переменной.
Пусть $y = 3^{\sqrt{x}}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $y = 3^{\sqrt{x}} \ge 3^0 = 1$.
Неравенство принимает вид:
$y^2 - 10y + 9 < 0$.
Найдем корни уравнения $y^2 - 10y + 9 = 0$.
По теореме Виета, корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 9$.
Решением неравенства $y^2 - 10y + 9 < 0$ является интервал между корнями:
$1 < y < 9$.
Учитывая условие $y \ge 1$, получаем $1 < y < 9$.
Выполним обратную замену:
$1 < 3^{\sqrt{x}} < 9$.
Представим числа 1 и 9 в виде степеней с основанием 3:
$3^0 < 3^{\sqrt{x}} < 3^2$.
Так как основание $3 > 1$, перейдем к неравенству для показателей:
$0 < \sqrt{x} < 2$.
Возведем все части неравенства в квадрат:
$0 < x < 4$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $(0; 4)$.

28.36. a) $x^4 - 8x - 6x^3 + 12x^2 \ge 0;$

б) $x^4 + 12x < 13x^2.$

а) $x^4 - 8x - 6x^3 + 12x^2 \ge 0$

Сначала перепишем неравенство, упорядочив члены по убыванию степеней $x$:

$x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 8x \ge 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) \ge 0$

Выражение в скобках является полным кубом разности. Вспомним формулу: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Если взять $a=x$ и $b=2$, то получим:

$(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

Таким образом, наше неравенство принимает вид:

$x(x-2)^3 \ge 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни левой части:

$x = 0$ и $(x-2)^3 = 0 \implies x = 2$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, \infty)$. Определим знак выражения $x(x-2)^3$ в каждом интервале.

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $3(3-2)^3 = 3 \cdot 1^3 = 3 > 0$. Знак «+».
• При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $1(1-2)^3 = 1 \cdot (-1)^3 = -1 < 0$. Знак «-».
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $-1(-1-2)^3 = -1 \cdot (-3)^3 = 27 > 0$. Знак «+».

Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. Это выполняется в интервалах, где стоит знак «+», а также в точках, где выражение равно нулю ($x=0$ и $x=2$).

Следовательно, решение неравенства есть объединение промежутков $(-\infty, 0]$ и $[2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

б) $x^4 + 12x < 13x^2$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$x^4 - 13x^2 + 12x < 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^3 - 13x + 12) < 0$

Теперь нужно разложить на множители кубический многочлен $P(x) = x^3 - 13x + 12$. Попробуем найти его целочисленные корни среди делителей свободного члена 12: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Проверим $x=1$: $P(1) = 1^3 - 13(1) + 12 = 1 - 13 + 12 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем, а $(x-1)$ — одним из множителей.

Разделим многочлен $x^3 - 13x + 12$ на $(x-1)$ (например, столбиком или по схеме Горнера), чтобы найти остальные множители.

$(x^3 - 13x + 12) : (x-1) = x^2 + x - 12$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 12$. Его корни можно найти по теореме Виета: произведение корней равно -12, а сумма равна -1. Это числа -4 и 3. Таким образом,

$x^2 + x - 12 = (x - (-4))(x - 3) = (x+4)(x-3)$.

Итак, исходное неравенство можно переписать в виде:

$x(x-1)(x+4)(x-3) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x=-4, x=0, x=1, x=3$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают ее на пять интервалов: $(-\infty, -4)$, $(-4, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$ и $(3, \infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале.

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $4(4-1)(4+4)(4-3) > 0$. Знак «+».
• Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в интервалах будут чередоваться.
• Интервал $(1, 3)$: знак «-».
• Интервал $(0, 1)$: знак «+».
• Интервал $(-4, 0)$: знак «-».
• Интервал $(-\infty, -4)$: знак «+».

Нам нужно, чтобы выражение было строго меньше нуля (знак «-»). Это соответствует интервалам $(-4, 0)$ и $(1, 3)$. Так как неравенство строгое, концы интервалов не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-4, 0) \cup (1, 3)$.