Страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение, используя функционально-графические методы:

27.22. a) $2^x = 6 - x;$

б) $ \left(\frac{1}{3}\right)^x = x + 4. $

а)

Для решения уравнения $2^x = 6 - x$ функционально-графическим методом, рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:

1. $y = 2^x$ — показательная функция.

2. $y = 6 - x$ — линейная функция.

Решением исходного уравнения будет абсцисса (координата $x$) точки пересечения графиков этих двух функций.

Проанализируем свойства функций:

Функция $y = 2^x$ является возрастающей на всей своей области определения ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), так как основание степени $2 > 1$.

Функция $y = 6 - x$ является убывающей на всей своей области определения ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), так как угловой коэффициент $k = -1 < 0$.

Так как одна функция монотонно возрастает, а другая монотонно убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора, проверяя целые значения $x$.

При $x = 1$:
$2^1 = 2$
$6 - 1 = 5$
$2 \neq 5$

При $x = 2$:
$2^2 = 4$
$6 - 2 = 4$
$4 = 4$

Мы нашли корень $x=2$. Поскольку корень может быть только один, это и есть решение уравнения.

Ответ: $x = 2$

б)

Для решения уравнения $(\frac{1}{3})^x = x + 4$ используем тот же метод. Рассмотрим две функции:

1. $y = (\frac{1}{3})^x$ — показательная функция.

2. $y = x + 4$ — линейная функция.

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков этих функций.

Проанализируем свойства функций:

Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ является убывающей на всей своей области определения ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), так как основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$.

Функция $y = x + 4$ является возрастающей на всей своей области определения ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), так как угловой коэффициент $k = 1 > 0$.

Так как одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Значит, уравнение имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора.

При $x = 0$:
$(\frac{1}{3})^0 = 1$
$0 + 4 = 4$
$1 \neq 4$

При $x = -1$:
$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$
$-1 + 4 = 3$
$3 = 3$

Мы нашли корень $x=-1$. Так как он единственный, это и есть решение уравнения.

Ответ: $x = -1$

ˆ27.23. a) $(x-1)^2 = \log_2 x;$

б) $\log_{\frac{1}{2}} x = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2$.

а) $(x - 1)^2 = \log_2 x$

Данное уравнение является трансцендентным, так как в левой части стоит степенная функция, а в правой — логарифмическая. Такие уравнения обычно решают, анализируя свойства функций.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. Рассмотрим две функции: $y_1 = (x - 1)^2$ и $y_2 = \log_2 x$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения их графиков.

- $y_1 = (x - 1)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(1, 0)$.

- $y_2 = \log_2 x$ — это логарифмическая функция, которая является возрастающей на всей своей области определения.

3. Попробуем найти решения методом подбора.

- Проверим $x = 1$:
Левая часть: $(1 - 1)^2 = 0^2 = 0$.
Правая часть: $\log_2 1 = 0$.
Поскольку $0 = 0$, $x = 1$ является корнем уравнения.

- Проверим $x = 2$:
Левая часть: $(2 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $\log_2 2 = 1$.
Поскольку $1 = 1$, $x = 2$ также является корнем уравнения.

4. Проанализируем поведение функций, чтобы убедиться в отсутствии других корней.

- При $0 < x < 1$: функция $y_1 = (x - 1)^2$ положительна ($y_1 > 0$), а функция $y_2 = \log_2 x$ отрицательна ($y_2 < 0$). Следовательно, на этом интервале равенство невозможно.

- При $x > 2$: обе функции возрастают. Сравним их скорости роста, то есть производные.
$y_1' = ((x - 1)^2)' = 2(x - 1)$.
$y_2' = (\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$.
При $x = 2$: $y_1'(2) = 2(2 - 1) = 2$, а $y_2'(2) = \frac{1}{2 \ln 2} \approx 0.72$.
При $x > 2$ производная $y_1'$ продолжает расти, а производная $y_2'$ убывает. Это означает, что при $x > 2$ парабола растет значительно быстрее, чем логарифмическая функция. Так как в точке $x=2$ значения функций были равны, при $x > 2$ значение параболы всегда будет больше значения логарифма. Таким образом, других точек пересечения нет.

Следовательно, уравнение имеет только два корня.

Ответ: $1; 2$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} x = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2$

Это также трансцендентное уравнение. Решим его с помощью анализа свойств функций.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения.

- $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$. Так как основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, эта функция является строго убывающей на всей области определения $(0, +\infty)$.

- $g(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(-\frac{1}{2}, 0)$. На области допустимых значений, т.е. при $x > 0$, эта функция является строго возрастающей.

3. Уравнение имеет вид $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ — строго убывающая, а $g(x)$ — строго возрастающая функция. Такое уравнение может иметь не более одного корня.

4. Найдем этот корень методом подбора.

- Проверим $x = \frac{1}{2}$:
Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.
Правая часть: $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)^2 = 1^2 = 1$.
Поскольку $1 = 1$, $x = \frac{1}{2}$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что уравнение может иметь не более одного корня, и мы нашли этот корень, то других решений нет.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

27.24. a) $1 - \sqrt{x} = \ln x$;

б) $\sqrt{x} - 2 = \frac{9}{x}$.

а) $1 - \sqrt{x} = \ln x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Для выражения $\sqrt{x}$ необходимо, чтобы $x \ge 0$. Для выражения $\ln x$ необходимо, чтобы $x > 0$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $f(x) = 1 - \sqrt{x}$ и $g(x) = \ln x$.

Исследуем эти функции на монотонность на их общей области определения $x > 0$.
Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (1 - \sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Так как для любого $x > 0$ производная $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ является строго убывающей на всей области определения.

Найдем производную функции $g(x)$: $g'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Так как для любого $x > 0$ производная $g'(x) > 0$, функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей области определения.

Поскольку строго убывающая функция и строго возрастающая функция могут пересекаться не более одного раза, данное уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $x=1$:
Левая часть: $f(1) = 1 - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0$.
Правая часть: $g(1) = \ln 1 = 0$.
Так как $f(1) = g(1)$, то $x=1$ является корнем уравнения. Поскольку этот корень единственный, других решений нет.

Ответ: $x = 1$.

б) $\sqrt{x} - 2 = \frac{9}{x}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\sqrt{x}$ определено при $x \ge 0$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Для решения уравнения введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $x > 0$, то и $t > 0$. Тогда $x = t^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t - 2 = \frac{9}{t^2}$

Умножим обе части уравнения на $t^2$ (это допустимо, так как $t^2 > 0$):
$t^2(t - 2) = 9$
$t^3 - 2t^2 = 9$
$t^3 - 2t^2 - 9 = 0$

Мы получили кубическое уравнение. Попробуем найти его целые корни среди делителей свободного члена (-9): $\pm 1, \pm 3, \pm 9$.
Проверим $t = 3$:
$3^3 - 2 \cdot 3^2 - 9 = 27 - 2 \cdot 9 - 9 = 27 - 18 - 9 = 0$.
Значение $t=3$ является корнем уравнения.

Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $t^3 - 2t^2 - 9$ на двучлен $(t-3)$:

$(t^3 - 2t^2 - 9) \div (t-3) = t^2 + t + 3$

Таким образом, уравнение можно представить в виде:
$(t-3)(t^2 + t + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $t - 3 = 0 \implies t = 3$.
2) $t^2 + t + 3 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
Так как $D < 0$, уравнение $t^2 + t + 3 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением для $t$ является $t=3$. Это значение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:
$\sqrt{x} = 3$
Возведем обе части в квадрат:
$x = 9$

Проверим полученный корень, подставив его в исходное уравнение:
$\sqrt{9} - 2 = \frac{9}{9}$
$3 - 2 = 1$
$1 = 1$
Равенство верное.

Ответ: $x = 9$.

27.25. Сколько корней имеет уравнение:

a) $\log_{\pi} x = \sin x;$

б) $x^2 + 1 = \cos x;$

в) $\log_{3\pi} x = \cos x;$

г) $\sin x = \frac{1}{9} x?$

а) Для решения уравнения $\log_{\pi} x = \sin x$ рассмотрим графики функций $y = \log_{\pi} x$ и $y = \sin x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмической функции: $x > 0$.
Область значений функции $y = \sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для существования решения необходимо, чтобы $-1 \le \log_{\pi} x \le 1$.
Это неравенство равносильно системе:
$\log_{\pi} x \le 1 \implies x \le \pi$
$\log_{\pi} x \ge -1 \implies x \ge \pi^{-1} \implies x \ge \frac{1}{\pi}$
Таким образом, все возможные корни уравнения лежат на отрезке $[\frac{1}{\pi}, \pi]$, что примерно равно $[0.318, 3.14]$.
На интервале $(0, 1]$ имеем $\log_{\pi} x \le 0$, в то время как на интервале $(0, \pi)$ функция $\sin x > 0$. Следовательно, на интервале $(0, 1]$ решений нет, так как одна часть уравнения неположительна, а другая положительна.
Рассмотрим интервал $(1, \pi)$.
На этом интервале $\log_{\pi} x > 0$ и $\sin x > 0$, так что корни возможны.
Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - \log_{\pi} x$. Найдем количество ее нулей на интервале $(1, \pi)$.
Значения на концах интервала:
$f(1) = \sin 1 - \log_{\pi} 1 = \sin 1 - 0 = \sin 1 > 0$.
$f(\pi) = \sin \pi - \log_{\pi} \pi = 0 - 1 = -1 < 0$.
Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на $[1, \pi]$ и принимает на его концах значения разного знака, по теореме о промежуточном значении, на интервале $(1, \pi)$ есть как минимум один корень.
Найдем производную функции: $f'(x) = \cos x - \frac{1}{x \ln \pi}$.
На интервале $(1, \pi)$ имеем $1 < x < \pi$. На интервале $(1, \pi/2)$ $\cos x > 0$, а на $(\pi/2, \pi)$ $\cos x < 0$. Можно показать, что на всем интервале $(1, \pi)$ производная $f'(x)$ отрицательна. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно убывает на этом интервале.
Так как монотонно убывающая функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза, а мы уже доказали наличие как минимум одного корня, то корень на интервале $(1, \pi)$ ровно один.
Ответ: 1 корень.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 + 1 = \cos x$.
Оценим левую и правую части уравнения.
Левая часть: $f(x) = x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Наименьшее значение левой части равно 1 и достигается при $x=0$.
Правая часть: $g(x) = \cos x$. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $\cos x \le 1$. Наибольшее значение правой части равно 1.
Равенство $x^2 + 1 = \cos x$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно принимают свое предельное значение, равное 1.
Это приводит к системе уравнений:
$x^2 + 1 = 1$
$\cos x = 1$
Из первого уравнения получаем $x^2 = 0$, откуда $x=0$.
Проверим, удовлетворяет ли это значение второму уравнению: $\cos 0 = 1$. Это верное равенство.
Таким образом, единственным решением уравнения является $x=0$.
Ответ: 1 корень.

в) Для решения уравнения $\log_{3\pi} x = \cos x$ используем графический метод, анализируя пересечения графиков функций $y = \log_{3\pi} x$ и $y = \cos x$.
ОДЗ: $x > 0$.
Так как область значений косинуса $[-1, 1]$, то корни могут существовать только при условии $-1 \le \log_{3\pi} x \le 1$, что равносильно $\frac{1}{3\pi} \le x \le 3\pi$. Приближенно $x \in [0.106, 9.42]$.
1. На интервале $(0, \pi/2) \approx (0, 1.57)$: $y=\log_{3\pi} x$ возрастает от $-\infty$ до $\log_{3\pi}(\pi/2) > 0$. $y=\cos x$ убывает от 1 до 0. В точке $x=1$ имеем $\log_{3\pi} 1 = 0$ и $\cos 1 > 0$. В точке $x=\pi/2$ имеем $\log_{3\pi}(\pi/2) > 0$ и $\cos(\pi/2) = 0$. Так как на одном конце интервала логарифм меньше косинуса, а на другом больше, и обе функции непрерывны, то на этом интервале есть как минимум один корень. Функция $\log_{3\pi} x - \cos x$ на этом интервале строго возрастает, так что корень ровно один.
2. На интервале $[\pi/2, 3\pi/2] \approx [1.57, 4.71]$: $\cos x \le 0$. В то же время, $x > 1$, поэтому $\log_{3\pi} x > \log_{3\pi} 1 = 0$. Так как левая часть положительна, а правая неположительна, корней на этом интервале нет.
3. На интервале $(3\pi/2, 5\pi/2) \approx (4.71, 7.85)$: $\cos x > 0$.
- При $x=3\pi/2$, $\cos(3\pi/2)=0$, а $\log_{3\pi}(3\pi/2) = 1-\log_{3\pi}2 > 0$. Итак, $\log_{3\pi} x > \cos x$.
- При $x=2\pi \approx 6.28$, $\cos(2\pi)=1$, а $\log_{3\pi}(2\pi) < \log_{3\pi}(3\pi) = 1$. Итак, $\log_{3\pi} x < \cos x$.
- При $x=5\pi/2$, $\cos(5\pi/2)=0$, а $\log_{3\pi}(5\pi/2) > 0$. Итак, $\log_{3\pi} x > \cos x$.
График $y=\log_{3\pi} x$ — монотонно возрастающая функция. График $y=\cos x$ на этом интервале сначала возрастает от 0 до 1 (на $(3\pi/2, 2\pi)$), а затем убывает от 1 до 0 (на $(2\pi, 5\pi/2)$).
Поскольку на $(3\pi/2, 2\pi)$ функция $\log_{3\pi}x$ переходит от "быть больше" к "быть меньше" $\cos x$, там есть корень.
Поскольку на $(2\pi, 5\pi/2)$ функция $\log_{3\pi}x$ переходит от "быть меньше" к "быть больше" $\cos x$, там есть еще один корень. Итого 2 корня на этом интервале.
4. На интервале $[5\pi/2, 3\pi] \approx [7.85, 9.42]$: $\cos x \le 0$, а $\log_{3\pi} x > 0$. Корней нет.
За пределами $x=3\pi$, $\log_{3\pi} x > 1$, а $\cos x \le 1$, так что пересечений больше нет.
Суммируя, получаем $1+0+2+0=3$ корня.
Ответ: 3 корня.

г) Рассмотрим уравнение $\sin x = \frac{1}{9}x$.
Решения уравнения — это точки пересечения графика синусоиды $y = \sin x$ и прямой $y = \frac{1}{9}x$.
1. Очевидно, $x=0$ является корнем, так как $\sin 0 = 0$ и $\frac{1}{9} \cdot 0 = 0$.
2. Так как $|\sin x| \le 1$, то для существования других корней должно выполняться $|\frac{1}{9}x| \le 1$, что означает $|x| \le 9$. Таким образом, все корни лежат в отрезке $[-9, 9]$.
3. Функция $f(x) = \sin x - \frac{1}{9}x$ является нечетной, так как $f(-x) = \sin(-x) - \frac{1}{9}(-x) = -\sin x + \frac{1}{9}x = -f(x)$. Это значит, что количество положительных корней равно количеству отрицательных. Достаточно найти число положительных корней и умножить на 2, а затем прибавить корень $x=0$.
Ищем корни на интервале $(0, 9]$.
- Интервал $(0, \pi] \approx (0, 3.14]$. В начале интервала (при $x \to 0^+$), $\sin x \approx x$, а $x > x/9$. Значит, график синуса идет выше прямой. На конце интервала $\sin \pi = 0$, а $\pi/9 > 0$. Значит, прямая выше синусоиды. Следовательно, на интервале $(0, \pi)$ есть один корень.
- Интервал $(\pi, 2\pi] \approx (3.14, 6.28]$. Здесь $\sin x \le 0$, а $\frac{1}{9}x > 0$. Корней нет.
- Интервал $(2\pi, 3\pi) \approx (6.28, 9.42)$. Нас интересует участок $(2\pi, 9]$. Прямая $y=x/9$ поднимается от $y=2\pi/9 \approx 0.7$ до $y=1$. В этом же интервале синусоида совершает положительную "арку", поднимаясь от 0 до 1 (в точке $x=5\pi/2 \approx 7.85$) и опускаясь до $\sin 9 \approx 0.41$.
При $x=2\pi$, $\sin(2\pi)=0 < (2\pi)/9$.
При $x=5\pi/2$, $\sin(5\pi/2)=1 > (5\pi/18) \approx 0.87$.
При $x=9$, $\sin(9) \approx 0.41 < 9/9=1$.
Так как синусоида сначала ниже прямой, потом выше, а потом снова ниже, то на интервале $(2\pi, 9]$ есть два корня.
Всего положительных корней: $1 + 2 = 3$.
Столько же отрицательных корней из-за нечетности: 3.
Общее число корней: $3$ (положительных) $+ 3$ (отрицательных) $+ 1$ (нулевой) $= 7$.
Ответ: 7 корней.

27.26. Сколько корней имеет заданное уравнение на указанном промежутке:

a) $2^x = \sin x$, $[0; +\infty)$;

б) $(\frac{4}{5})^x = \cos x$, $(-\infty; 0];$

в) $7^x = \cos x$, $[0; +\infty);$

г) $\log_3 x = \sin x$, $(0; 3]?$

а)
Рассмотрим уравнение $2^x = \sin x$ на промежутке $[0; +\infty)$.
Для решения этого уравнения графическим методом построим графики функций $y = 2^x$ и $y = \sin x$.
Функция $y = 2^x$ является показательной с основанием больше 1, поэтому она строго возрастает. На промежутке $[0; +\infty)$ её значения принадлежат промежутку $[1; +\infty)$, так как $2^0 = 1$.
Функция $y = \sin x$ является тригонометрической, и её значения всегда находятся в промежутке $[-1; 1]$.
Для того чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы значения функций совпадали. Однако, для любого $x > 0$ имеем $2^x > 1$, в то время как $\sin x \le 1$. Следовательно, равенство $2^x = \sin x$ при $x > 0$ невозможно.
Проверим точку $x=0$: $2^0 = 1$, а $\sin 0 = 0$. $1 \ne 0$, так что $x=0$ не является корнем.
Таким образом, на промежутке $[0; +\infty)$ графики функций $y = 2^x$ и $y = \sin x$ не пересекаются.
Ответ: 0 корней.

б)
Рассмотрим уравнение $(\frac{4}{5})^x = \cos x$ на промежутке $(-\infty; 0]$.
Построим графики функций $y = (\frac{4}{5})^x$ и $y = \cos x$.
Функция $y = (\frac{4}{5})^x$ является показательной с основанием меньше 1, поэтому она строго убывает. На промежутке $(-\infty; 0]$ её значения принадлежат промежутку $[1; +\infty)$, так как $(\frac{4}{5})^0 = 1$ и при $x < 0$ значение $(\frac{4}{5})^x > 1$.
Функция $y = \cos x$ является тригонометрической, и её значения всегда находятся в промежутке $[-1; 1]$.
Единственное возможное общее значение для обеих функций — это 1. Равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения равны 1.
$(\frac{4}{5})^x = 1$ при $x=0$.
$\cos x = 1$ при $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число.
На промежутке $(-\infty; 0]$ единственным общим решением является $x=0$. Подставив $x=0$ в исходное уравнение, получаем верное равенство: $(\frac{4}{5})^0 = 1$ и $\cos 0 = 1$.
Для любого $x < 0$ имеем $(\frac{4}{5})^x > 1$, в то время как $\cos x \le 1$, поэтому других корней нет.
Ответ: 1 корень.

в)
Рассмотрим уравнение $7^x = \cos x$ на промежутке $[0; +\infty)$.
Построим графики функций $y = 7^x$ и $y = \cos x$.
Функция $y = 7^x$ является показательной с основанием больше 1, поэтому она строго возрастает. На промежутке $[0; +\infty)$ её значения принадлежат промежутку $[1; +\infty)$, так как $7^0 = 1$.
Функция $y = \cos x$ имеет область значений $[-1; 1]$.
Как и в предыдущем пункте, единственное возможное общее значение — это 1. Равенство $7^x = \cos x$ может выполняться только если $7^x=1$ и $\cos x=1$.
$7^x = 1$ при $x=0$.
$\cos x = 1$ при $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число.
На промежутке $[0; +\infty)$ единственным общим решением является $x=0$. Проверка показывает, что $x=0$ является корнем: $7^0 = 1$ и $\cos 0 = 1$.
Для любого $x > 0$ имеем $7^x > 1$, а $\cos x \le 1$, поэтому других корней на данном промежутке нет.
Ответ: 1 корень.

г)
Рассмотрим уравнение $\log_3 x = \sin x$ на промежутке $(0; 3]$.
Для нахождения числа корней сравним поведение функций $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = \sin x$ на заданном промежутке. Разобьем промежуток $(0; 3]$ на части для удобства анализа.
1. На промежутке $(0; 1]$:
Функция $f(x) = \log_3 x$ принимает неположительные значения ($f(x) \le 0$).
Функция $g(x) = \sin x$ на этом промежутке принимает положительные значения ($g(x) > 0$).
Следовательно, на промежутке $(0; 1]$ равенство $f(x)=g(x)$ невозможно. Корней нет.
2. На промежутке $(1; 3]$:
Рассмотрим поведение функций на концах этого отрезка (хоть $x=1$ и не входит в него, значения в этой точке важны для понимания).
При $x \to 1^+$, $f(x) = \log_3 x \to 0$. При этом $g(1) = \sin 1 > 0$ (т.к. $0 < 1 < \pi/2$). Таким образом, вблизи $x=1$ график $f(x)$ лежит ниже графика $g(x)$.
При $x=3$, $f(3) = \log_3 3 = 1$. Значение $g(3) = \sin 3$. Поскольку $\pi/2 < 3 < \pi$, то $0 < \sin 3 < 1$. Следовательно, $f(3) > g(3)$.
Рассмотрим функцию $h(x) = f(x) - g(x) = \log_3 x - \sin x$.
Эта функция непрерывна на $(1; 3]$. Мы выяснили, что $h(x) < 0$ для $x$, близких к 1, и $h(3) > 0$. По теореме о промежуточном значении, на интервале $(1; 3)$ существует хотя бы один корень.
Теперь исследуем монотонность функции $h(x)$ на $(1; 3]$. На этом промежутке функция $f(x) = \log_3 x$ строго возрастает. Поведение функции $g(x) = \sin x$ меняется: она возрастает на $(1; \pi/2]$ и убывает на $(\pi/2; 3]$.
- На промежутке $(\pi/2; 3]$ (где $\pi/2 \approx 1.57$) $f(x)=\log_3 x$ возрастает, а $g(x)=\sin x$ убывает. Следовательно, их разность $h(x) = \log_3 x - \sin x$ строго возрастает. Так как $h(\pi/2)=\log_3(\pi/2) - \sin(\pi/2) = \log_3(\pi/2) - 1 < 0$ и $h(3) > 0$, то на этом промежутке существует ровно один корень.
- На промежутке $(1; \pi/2]$ обе функции возрастают. $f(x)$ возрастает от 0 до $\log_3(\pi/2) \approx 0.41$. $g(x)$ возрастает от $\sin 1 \approx 0.84$ до 1. Поскольку на этом отрезке минимальное значение $\sin x$ больше, чем максимальное значение $\log_3 x$, то $g(x) > f(x)$ на всем отрезке. Значит, корней здесь нет.
Объединяя результаты, получаем, что на всем промежутке $(0; 3]$ уравнение имеет ровно один корень.
Ответ: 1 корень.

Решите уравнение:

27.27. a) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0;$

б) $x^3 + 7x^2 - 6 = 0;$

в) $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0;$

г) $x^3 + 4x^2 - 24 = 0.$

а) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

Это кубическое уравнение. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена (-6). Проверим делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Подставим $x = 1$ в уравнение:
$1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$.

Так как равенство верное, $x_1 = 1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ делится на $(x-1)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, например, по схеме Горнера:

$ \begin{array}{c|cccc} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ \hline 1 & 1 & -5 & 6 & 0 \\ \end{array} $

Получили коэффициенты квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6$. Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x-1)(x^2 - 5x + 6) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Решим квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета находим корни: $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$ (так как $2+3=5$ и $2 \cdot 3=6$).

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3$.

б) $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$

Найдем целый корень среди делителей свободного члена (-6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Подставим $x = -1$:
$(-1)^3 + 7 \cdot (-1)^2 - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$.

Корень $x_1 = -1$ найден. Разделим многочлен $x^3 + 7x^2 - 6$ на $(x+1)$.

$(x^3 + 7x^2 + 0x - 6) : (x + 1) = x^2 + 6x - 6$.

Уравнение принимает вид:

$(x+1)(x^2 + 6x - 6) = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 6x - 6 = 0$ с помощью формулы корней.

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$.

Корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 15}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15}$.

Получаем еще два корня: $x_2 = -3 + \sqrt{15}$ и $x_3 = -3 - \sqrt{15}$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -3 + \sqrt{15}, x_3 = -3 - \sqrt{15}$.

в) $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0$

Решим это уравнение методом группировки слагаемых.

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(x^3 + 2x^2) + (3x + 6) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) + 3(x + 2) = 0$.

Теперь вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 + 3) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$.

2) $x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = -2$.

г) $x^3 + 4x^2 - 24 = 0$

Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена (-24): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \dots$

Подставим $x = 2$:
$2^3 + 4 \cdot 2^2 - 24 = 8 + 4 \cdot 4 - 24 = 8 + 16 - 24 = 0$.

Корень $x_1 = 2$ найден. Разделим многочлен $x^3 + 4x^2 - 24$ на $(x-2)$.

$(x^3 + 4x^2 + 0x - 24) : (x - 2) = x^2 + 6x + 12$.

Уравнение принимает вид:

$(x-2)(x^2 + 6x + 12) = 0$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 6x + 12 = 0$.

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 - 48 = -12$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $x = 2$.

27.28. a) $(x - 1)^4 + 36 = 13(x^2 - 2x + 1);$

б) $(2x + 3)^4 - 9 = 8(4x^2 + 12x + 9).$

а) $(x - 1)^4 + 36 = 13(x^2 - 2x + 1)$

Заметим, что выражение в скобках в правой части уравнения представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(x - 1)^4 + 36 = 13(x - 1)^2$
Это биквадратное уравнение относительно выражения $(x - 1)$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = (x - 1)^2$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 + 36 = 13t$
Перенесем все члены в левую часть и получим стандартное квадратное уравнение:
$t^2 - 13t + 36 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня.
1. Если $t = 4$, то $(x - 1)^2 = 4$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x - 1 = 2$ или $x - 1 = -2$.
Отсюда находим два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
2. Если $t = 9$, то $(x - 1)^2 = 9$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x - 1 = 3$ или $x - 1 = -3$.
Отсюда находим еще два корня: $x_3 = 4$ и $x_4 = -2$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-2; -1; 3; 4$.

б) $(2x + 3)^4 - 9 = 8(4x^2 + 12x + 9)$

Заметим, что выражение в скобках в правой части уравнения является полным квадратом суммы: $4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x + 3)^2$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(2x + 3)^4 - 9 = 8(2x + 3)^2$
Сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение.
Пусть $y = (2x + 3)^2$. Поскольку $y$ является квадратом, должно выполняться условие $y \ge 0$.
С новой переменной уравнение выглядит так:
$y^2 - 9 = 8y$
Приведем его к стандартному виду:
$y^2 - 8y - 9 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 8, а их произведение равно -9. Корни: $y_1 = 9$ и $y_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.
$y_1 = 9$ удовлетворяет условию.
$y_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), поэтому это посторонний корень.
Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $y = 9$.
$(2x + 3)^2 = 9$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два случая:
$2x + 3 = 3$ или $2x + 3 = -3$.
1. В первом случае: $2x = 3 - 3 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$.
2. Во втором случае: $2x = -3 - 3 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x_2 = -3$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-3; 0$.

27.29. a) $(x^2 - 5x + 7)^2 - (x - 2)(x - 3) = 1;$

б) $((x - 2)(x - 4))^4 + 2(x - 3)^2 - 2 = 0.$

а) $(x^2 - 5x + 7)^2 - (x - 2)(x - 3) = 1$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$(x^2 - 5x + 7)^2 - (x^2 - 5x + 6) = 1$.

Заметим, что в уравнении многократно встречается выражение $x^2 - 5x$. Для упрощения введем замену. Пусть $t = x^2 - 5x + 6$. Тогда $x^2 - 5x + 7 = (x^2 - 5x + 6) + 1 = t + 1$.

Сделаем замену в уравнении:

$(t + 1)^2 - t = 1$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 2t + 1 - t = 1$

$t^2 + t = 0$

$t(t + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = 0$ или $t_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Если $t = 0$:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

2. Если $t = -1$:

$x^2 - 5x + 6 = -1$

$x^2 - 5x + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Так как $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.

Ответ: $2; 3$.

б) $((x - 2)(x - 4))^4 + 2(x - 3)^2 - 2 = 0$

Преобразуем выражения в скобках:

$(x - 2)(x - 4) = x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 - 6x + 8$.

$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$(x^2 - 6x + 8)^4 + 2(x^2 - 6x + 9) - 2 = 0$.

Введем замену для упрощения уравнения. Пусть $y = x^2 - 6x + 8$.

Тогда $x^2 - 6x + 9 = (x^2 - 6x + 8) + 1 = y + 1$.

Заменим выражения в уравнении на новую переменную $y$:

$y^4 + 2(y + 1) - 2 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$y^4 + 2y + 2 - 2 = 0$

$y^4 + 2y = 0$

$y(y^3 + 2) = 0$

Отсюда получаем два случая:

$y_1 = 0$ или $y^3 + 2 = 0$, что дает $y^3 = -2$, то есть $y_2 = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$.

Выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1. Если $y = 0$:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корни этого уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

2. Если $y = -\sqrt[3]{2}$:

$x^2 - 6x + 8 = -\sqrt[3]{2}$

$x^2 - 6x + (8 + \sqrt[3]{2}) = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 + \sqrt[3]{2}) = 36 - 32 - 4\sqrt[3]{2} = 4 - 4\sqrt[3]{2} = 4(1 - \sqrt[3]{2})$.

Поскольку $\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{1}$, то $\sqrt[3]{2} > 1$. Следовательно, $1 - \sqrt[3]{2} < 0$, а значит и $D < 0$.

Таким образом, в этом случае действительных корней нет.

Решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.

Ответ: $2; 4$.

27.30. a) $x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 15;$

б) $(x - 1)x(x + 1)(x + 2) = 24.$

а) Дано уравнение $x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 15$.

Для его решения сгруппируем множители: первый с четвертым, а второй с третьим. Это позволит после раскрытия скобок получить общий член для введения замены переменной.

$(x(x - 3)) \cdot ((x - 1)(x - 2)) = 15$

Раскроем скобки в каждой группе:
$x(x - 3) = x^2 - 3x$
$(x - 1)(x - 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$

Подставив полученные выражения обратно в уравнение, получаем:
$(x^2 - 3x)(x^2 - 3x + 2) = 15$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда уравнение принимает вид:

$t(t + 2) = 15$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 + 2t - 15 = 0$
Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Если $t = 3$, то получаем уравнение:
$x^2 - 3x = 3$
$x^2 - 3x - 3 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

2. Если $t = -5$, то получаем уравнение:
$x^2 - 3x = -5$
$x^2 - 3x + 5 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
Поскольку $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

б) Дано уравнение $(x - 1)x(x + 1)(x + 2) = 24$.

Переставим множители для удобства и сгруппируем их: $((x - 1)(x + 2)) \cdot (x(x + 1)) = 24$.

Раскроем скобки в каждой группе:
$(x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$
$x(x + 1) = x^2 + x$

Подставив выражения обратно, получаем:
$(x^2 + x - 2)(x^2 + x) = 24$

Введем замену переменной. Пусть $y = x^2 + x$. Уравнение принимает вид:

$(y - 2)y = 24$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 2y - 24 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -4$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. Если $y = 6$, то получаем уравнение:
$x^2 + x = 6$
$x^2 + x - 6 = 0$
Это уравнение можно разложить на множители: $(x + 3)(x - 2) = 0$.
Отсюда находим корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.

2. Если $y = -4$, то получаем уравнение:
$x^2 + x = -4$
$x^2 + x + 4 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.
Поскольку $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $-3; 2$.

27.31. a) $\frac{3}{1 + x + x^2} = 3 - x - x^2$

б) $\frac{x^2 - x}{x^2 - x + 1} - \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x - 2} = 1$

а) Исходное уравнение: $\frac{3}{1 + x + x^2} = 3 - x - x^2$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель $x^2 + x + 1$ не должен быть равен нулю. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент (при $x^2$) положителен, выражение $x^2 + x + 1$ всегда больше нуля при любых действительных $x$. Следовательно, ОДЗ: $x$ — любое действительное число.

Для упрощения решения введем замену. Пусть $t = x^2 + x$. Уравнение примет вид: $\frac{3}{1 + t} = 3 - t$.

Умножим обе части уравнения на $(1+t)$, что допустимо, так как $1+t = 1+x^2+x \neq 0$:
$3 = (3 - t)(1 + t)$
Раскроем скобки и упростим:
$3 = 3 + 3t - t - t^2$
$t^2 - 2t = 0$

Решим полученное уравнение для $t$, вынеся общий множитель за скобки:
$t(t - 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ или $t_2 = 2$.

Теперь выполним обратную замену.
1. При $t = 0$ имеем $x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.
2. При $t = 2$ имеем $x^2 + x = 2 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$. Корнями этого уравнения (по теореме Виета или через дискриминант) являются $x_3 = 1$ и $x_4 = -2$.

Все найденные корни входят в область допустимых значений.

Ответ: $-2; -1; 0; 1$.

б) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - x}{x^2 - x + 1} - \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x - 2} = 1$.

Заметим повторяющееся выражение $x^2 - x$ и введем замену для упрощения. Пусть $y = x^2 - x$. Уравнение преобразуется к виду:
$\frac{y}{y + 1} - \frac{y + 2}{y - 2} = 1$.
Область допустимых значений для переменной $y$ определяется условиями $y + 1 \neq 0$ и $y - 2 \neq 0$, то есть $y \neq -1$ и $y \neq 2$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(y + 1)(y - 2)$ и решим уравнение:
$\frac{y(y - 2) - (y + 2)(y + 1)}{(y + 1)(y - 2)} = 1$
Умножим обе части на знаменатель, учитывая ОДЗ для $y$:
$y(y - 2) - (y + 2)(y + 1) = (y + 1)(y - 2)$
$y^2 - 2y - (y^2 + 3y + 2) = y^2 - y - 2$
$-5y - 2 = y^2 - y - 2$
$y^2 + 4y = 0$
$y(y + 4) = 0$

Отсюда получаем два решения для $y$: $y_1 = 0$ или $y_2 = -4$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$ ($y \neq -1$ и $y \neq 2$).

Выполним обратную замену $y = x^2 - x$:
1. Если $y = 0$, то $x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.
2. Если $y = -4$, то $x^2 - x = -4 \Rightarrow x^2 - x + 4 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -15 < 0$, поэтому действительных корней нет.

Проверим найденные корни $x=0$ и $x=1$ на соответствие ОДЗ исходного уравнения. Знаменатели $x^2 - x + 1$ и $x^2 - x - 2$ не должны быть равны нулю. Первый знаменатель $x^2 - x + 1$ никогда не равен нулю (его дискриминант равен -3). Второй знаменатель $x^2 - x - 2$ равен нулю при $x=2$ и $x=-1$. Найденные корни $0$ и $1$ не совпадают с этими значениями, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $0; 1$.

27.32. a) $\sin^2 x + \cos^2 2x = 1;$
б) $\cos^2 3x - \sin^2 3x - \cos 4x = 0.$

a) $\sin^2 x + \cos^2 2x = 1$

Для решения данного уравнения воспользуемся основной тригонометрической тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(1 - \cos^2 x) + \cos^2 2x = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\cos^2 2x - \cos^2 x = 0$

$\cos^2 2x = \cos^2 x$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos 2x = \cos x$

2) $\cos 2x = -\cos x$

Решим каждое уравнение по отдельности.

1) $\cos 2x = \cos x$. Решения этого уравнения имеют вид $2x = \pm x + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

а) $2x = x + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $2x = -x + 2\pi n \implies 3x = 2\pi n \implies x = \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решения $x = 2\pi n$ являются частным случаем решений $x = \frac{2\pi n}{3}$ при $n$, кратном 3. Поэтому общим решением для этого случая является $x = \frac{2\pi n}{3}$.

2) $\cos 2x = -\cos x$. Используем формулу приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$.

$\cos 2x = \cos(\pi - x)$. Решения имеют вид $2x = \pm (\pi - x) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

а) $2x = \pi - x + 2\pi k \implies 3x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{\pi(1+2k)}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2x = -(\pi - x) + 2\pi k \implies 2x = -\pi + x + 2\pi k \implies x = -\pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решения $x = -\pi + 2\pi k$ являются частным случаем решений $x = \frac{\pi(1+2k)}{3}$ (например, при $k=-2$ получаем $x = \frac{\pi(1-4)}{3} = -\pi$).

Объединим все найденные серии решений: $x = \frac{2\pi n}{3}$ и $x = \frac{\pi(1+2k)}{3}$. Первая серия дает значения, где числитель кратен $2\pi$, а вторая — где числитель нечетное число раз $\pi$. Вместе они образуют все точки вида $\frac{\pi m}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 3x - \sin^2 3x - \cos 4x = 0$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

В данном уравнении $\alpha = 3x$, поэтому выражение $\cos^2 3x - \sin^2 3x$ равно $\cos(2 \cdot 3x) = \cos 6x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\cos 6x - \cos 4x = 0$

Перенесем $\cos 4x$ в правую часть уравнения:

$\cos 6x = \cos 4x$

Уравнение вида $\cos a = \cos b$ равносильно совокупности двух уравнений: $a = b + 2\pi n$ и $a = -b + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим оба случая:

1) $6x = 4x + 2\pi n$

$2x = 2\pi n$

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $6x = -4x + 2\pi k$

$10x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{10} = \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сравним полученные серии решений. Первая серия $x = \pi n$ является подмножеством второй серии $x = \frac{\pi k}{5}$. Чтобы получить первую серию из второй, достаточно взять значения $k$, кратные 5 (то есть $k=5n$).

Следовательно, общее решение уравнения — это вторая, более общая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.