Номер 27.29, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.29, страница 170.

27.29. a) $(x^2 - 5x + 7)^2 - (x - 2)(x - 3) = 1;$

б) $((x - 2)(x - 4))^4 + 2(x - 3)^2 - 2 = 0.$

а) $(x^2 - 5x + 7)^2 - (x - 2)(x - 3) = 1$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$(x^2 - 5x + 7)^2 - (x^2 - 5x + 6) = 1$.

Заметим, что в уравнении многократно встречается выражение $x^2 - 5x$. Для упрощения введем замену. Пусть $t = x^2 - 5x + 6$. Тогда $x^2 - 5x + 7 = (x^2 - 5x + 6) + 1 = t + 1$.

Сделаем замену в уравнении:

$(t + 1)^2 - t = 1$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 2t + 1 - t = 1$

$t^2 + t = 0$

$t(t + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = 0$ или $t_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Если $t = 0$:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

2. Если $t = -1$:

$x^2 - 5x + 6 = -1$

$x^2 - 5x + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Так как $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.

Ответ: $2; 3$.

б) $((x - 2)(x - 4))^4 + 2(x - 3)^2 - 2 = 0$

Преобразуем выражения в скобках:

$(x - 2)(x - 4) = x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 - 6x + 8$.

$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$(x^2 - 6x + 8)^4 + 2(x^2 - 6x + 9) - 2 = 0$.

Введем замену для упрощения уравнения. Пусть $y = x^2 - 6x + 8$.

Тогда $x^2 - 6x + 9 = (x^2 - 6x + 8) + 1 = y + 1$.

Заменим выражения в уравнении на новую переменную $y$:

$y^4 + 2(y + 1) - 2 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$y^4 + 2y + 2 - 2 = 0$

$y^4 + 2y = 0$

$y(y^3 + 2) = 0$

Отсюда получаем два случая:

$y_1 = 0$ или $y^3 + 2 = 0$, что дает $y^3 = -2$, то есть $y_2 = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$.

Выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1. Если $y = 0$:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корни этого уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

2. Если $y = -\sqrt[3]{2}$:

$x^2 - 6x + 8 = -\sqrt[3]{2}$

$x^2 - 6x + (8 + \sqrt[3]{2}) = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 + \sqrt[3]{2}) = 36 - 32 - 4\sqrt[3]{2} = 4 - 4\sqrt[3]{2} = 4(1 - \sqrt[3]{2})$.

Поскольку $\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{1}$, то $\sqrt[3]{2} > 1$. Следовательно, $1 - \sqrt[3]{2} < 0$, а значит и $D < 0$.

Таким образом, в этом случае действительных корней нет.

Решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.

Ответ: $2; 4$.