Номер 27.32, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.32, страница 170.

27.32. a) $\sin^2 x + \cos^2 2x = 1;$
б) $\cos^2 3x - \sin^2 3x - \cos 4x = 0.$

a) $\sin^2 x + \cos^2 2x = 1$

Для решения данного уравнения воспользуемся основной тригонометрической тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(1 - \cos^2 x) + \cos^2 2x = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\cos^2 2x - \cos^2 x = 0$

$\cos^2 2x = \cos^2 x$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos 2x = \cos x$

2) $\cos 2x = -\cos x$

Решим каждое уравнение по отдельности.

1) $\cos 2x = \cos x$. Решения этого уравнения имеют вид $2x = \pm x + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

а) $2x = x + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $2x = -x + 2\pi n \implies 3x = 2\pi n \implies x = \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решения $x = 2\pi n$ являются частным случаем решений $x = \frac{2\pi n}{3}$ при $n$, кратном 3. Поэтому общим решением для этого случая является $x = \frac{2\pi n}{3}$.

2) $\cos 2x = -\cos x$. Используем формулу приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$.

$\cos 2x = \cos(\pi - x)$. Решения имеют вид $2x = \pm (\pi - x) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

а) $2x = \pi - x + 2\pi k \implies 3x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{\pi(1+2k)}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2x = -(\pi - x) + 2\pi k \implies 2x = -\pi + x + 2\pi k \implies x = -\pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решения $x = -\pi + 2\pi k$ являются частным случаем решений $x = \frac{\pi(1+2k)}{3}$ (например, при $k=-2$ получаем $x = \frac{\pi(1-4)}{3} = -\pi$).

Объединим все найденные серии решений: $x = \frac{2\pi n}{3}$ и $x = \frac{\pi(1+2k)}{3}$. Первая серия дает значения, где числитель кратен $2\pi$, а вторая — где числитель нечетное число раз $\pi$. Вместе они образуют все точки вида $\frac{\pi m}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

---

б) $\cos^2 3x - \sin^2 3x - \cos 4x = 0$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

В данном уравнении $\alpha = 3x$, поэтому выражение $\cos^2 3x - \sin^2 3x$ равно $\cos(2 \cdot 3x) = \cos 6x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\cos 6x - \cos 4x = 0$

Перенесем $\cos 4x$ в правую часть уравнения:

$\cos 6x = \cos 4x$

Уравнение вида $\cos a = \cos b$ равносильно совокупности двух уравнений: $a = b + 2\pi n$ и $a = -b + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим оба случая:

1) $6x = 4x + 2\pi n$

$2x = 2\pi n$

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $6x = -4x + 2\pi k$

$10x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{10} = \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сравним полученные серии решений. Первая серия $x = \pi n$ является подмножеством второй серии $x = \frac{\pi k}{5}$. Чтобы получить первую серию из второй, достаточно взять значения $k$, кратные 5 (то есть $k=5n$).

Следовательно, общее решение уравнения — это вторая, более общая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.