Номер 27.39, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.39, страница 171.

27.39. a) $2^x \cdot 5^{\frac{1+x}{x}} = 50;$

Б) $3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 24;$

В) $3^{x-1} \cdot 625^{x-1} = 225;$

Г) $5^x \cdot 2^{\frac{2+x}{x}} = 40.$

а) $2^x \cdot 5^{\frac{1+x}{x}} = 50$

Сначала определим область допустимых значений. Так как в показателе степени есть дробь с $x$ в знаменателе, $x \neq 0$.
Преобразуем показатель степени у числа 5: $ \frac{1+x}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x} = \frac{1}{x} + 1 $.
Подставим это в исходное уравнение: $ 2^x \cdot 5^{\frac{1}{x} + 1} = 50 $
$ 2^x \cdot 5^{\frac{1}{x}} \cdot 5^1 = 50 $
Разделим обе части уравнения на 5: $ 2^x \cdot 5^{\frac{1}{x}} = 10 $
Представим число 5 как $ \frac{10}{2} $: $ 2^x \cdot (\frac{10}{2})^{\frac{1}{x}} = 10 $
$ 2^x \cdot \frac{10^{\frac{1}{x}}}{2^{\frac{1}{x}}} = 10^1 $
$ 2^{x - \frac{1}{x}} = 10^{1 - \frac{1}{x}} $
$ 2^{\frac{x^2 - 1}{x}} = 10^{\frac{x - 1}{x}} $
Используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, преобразуем показатель у числа 2: $ 2^{\frac{(x-1)(x+1)}{x}} = 10^{\frac{x-1}{x}} $
Это равенство выполняется, если показатели степени равны нулю. $ \frac{x-1}{x} = 0 \implies x-1=0 \implies x=1 $.
При $ x=1 $ получаем $ 2^0 = 10^0 $, что является верным равенством $ 1=1 $. Значит, $ x=1 $ — корень уравнения.
Если $ x \neq 1 $, мы можем возвести обе части уравнения в степень $ \frac{x}{x-1} $: $ (2^{\frac{(x-1)(x+1)}{x}})^{\frac{x}{x-1}} = (10^{\frac{x-1}{x}})^{\frac{x}{x-1}} $
$ 2^{x+1} = 10 $
Прологарифмируем обе части по основанию 2: $ x+1 = \log_2{10} $
$ x = \log_2{10} - 1 $
$ x = \log_2{10} - \log_2{2} $
$ x = \log_2{(\frac{10}{2})} = \log_2{5} $.
Таким образом, у уравнения два корня.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \log_2{5}$.

б) $3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 24$

Область допустимых значений: $ x \neq 0 $.
Разложим правую часть уравнения на простые множители: $ 24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1 $.
Уравнение принимает вид: $ 3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 3^1 \cdot 2^3 $
Один из возможных случаев, когда такое равенство верно, — это когда показатели степеней при одинаковых основаниях равны. Составим систему уравнений: $ \begin{cases} x = 1 \\ \frac{3}{x} = 3 \end{cases} $
Подставив $ x=1 $ во второе уравнение, получаем $ \frac{3}{1} = 3 $, что является верным. Значит, $ x=1 $ — корень уравнения.
Чтобы найти другие возможные корни, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: $ \log_3{(3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}})} = \log_3{(24)} $
$ \log_3{(3^x)} + \log_3{(2^{\frac{3}{x}})} = \log_3{(3 \cdot 8)} $
$ x + \frac{3}{x}\log_3{2} = \log_3{3} + \log_3{8} $
$ x + \frac{3}{x}\log_3{2} = 1 + 3\log_3{2} $
Умножим обе части на $ x $ (так как $ x \neq 0 $): $ x^2 + 3\log_3{2} = x(1 + 3\log_3{2}) $
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $ x^2 - (1 + 3\log_3{2})x + 3\log_3{2} = 0 $
По теореме Виета, для корней $ x_1 $ и $ x_2 $ этого уравнения справедливы соотношения: $ x_1 + x_2 = 1 + 3\log_3{2} $
$ x_1 \cdot x_2 = 3\log_3{2} $
Легко видеть, что корнями являются $ x_1=1 $ и $ x_2=3\log_3{2} $.
Преобразуем второй корень: $ x_2 = 3\log_3{2} = \log_3{(2^3)} = \log_3{8} $.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \log_3{8}$.

в) $3^{x-1} \cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}} = 225$

Область допустимых значений: $ x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 $.
Представим числа 625 и 225 в виде степеней простых чисел: $ 625 = 5^4 $, $ 225 = 9 \cdot 25 = 3^2 \cdot 5^2 $.
Подставим эти значения в уравнение: $ 3^{x-1} \cdot (5^4)^{\frac{x-2}{x-1}} = 3^2 \cdot 5^2 $
$ 3^{x-1} \cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}} = 3^2 \cdot 5^2 $
Приравняем показатели степеней при одинаковых основаниях: $ \begin{cases} x-1 = 2 \\ \frac{4(x-2)}{x-1} = 2 \end{cases} $
Из первого уравнения находим $ x=3 $. Проверим, удовлетворяет ли это значение второму уравнению: $ \frac{4(3-2)}{3-1} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2 $. Верно. Таким образом, $ x=3 $ является корнем.
Для поиска других корней преобразуем уравнение, разделив обе части на $ 3^2 \cdot 5^2 $: $ \frac{3^{x-1}}{3^2} \cdot \frac{5^{\frac{4(x-2)}{x-1}}}{5^2} = 1 $
$ 3^{x-1-2} \cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}-2} = 1 $
$ 3^{x-3} \cdot 5^{\frac{4x-8 - 2(x-1)}{x-1}} = 1 $
$ 3^{x-3} \cdot 5^{\frac{4x-8 - 2x+2}{x-1}} = 1 $
$ 3^{x-3} \cdot 5^{\frac{2x-6}{x-1}} = 1 $
$ 3^{x-3} \cdot 5^{\frac{2(x-3)}{x-1}} = 1 $
$ 3^{x-3} \cdot (5^{\frac{2}{x-1}})^{x-3} = 1 $
$ (3 \cdot 5^{\frac{2}{x-1}})^{x-3} = 1 $
Равенство $ A^B = 1 $ выполняется в двух случаях:
1) $ B=0 $ (при $ A \neq 0 $). $ x-3=0 \implies x=3 $. Мы уже нашли этот корень.
2) $ A=1 $. $ 3 \cdot 5^{\frac{2}{x-1}} = 1 $
$ 5^{\frac{2}{x-1}} = \frac{1}{3} $
Прологарифмируем по основанию 5: $ \frac{2}{x-1} = \log_5{(\frac{1}{3})} = -\log_5{3} $
$ x-1 = -\frac{2}{\log_5{3}} = -2\log_3{5} $
$ x = 1 - 2\log_3{5} = 1 - \log_3{(5^2)} = 1 - \log_3{25} $.

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = 1 - \log_3{25}$.

г) $5^x \cdot 2^{\frac{2+x}{x}} = 40$

Область допустимых значений: $ x \neq 0 $.
Преобразуем показатель степени у числа 2: $ \frac{2+x}{x} = \frac{2}{x} + \frac{x}{x} = \frac{2}{x} + 1 $.
Подставим в уравнение: $ 5^x \cdot 2^{\frac{2}{x} + 1} = 40 $
$ 5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}} \cdot 2^1 = 40 $
Разделим обе части на 2: $ 5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}} = 20 $
Разложим 20 на множители: $ 20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^1 $.
Уравнение примет вид: $ 5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}} = 5^1 \cdot 2^2 $
Приравнивая показатели степеней при одинаковых основаниях, получаем систему: $ \begin{cases} x=1 \\ \frac{2}{x}=2 \end{cases} $
Из первого уравнения $ x=1 $. Подстановка во второе дает $ \frac{2}{1} = 2 $, что верно. Значит, $ x=1 $ является решением.
Чтобы найти другие решения, прологарифмируем уравнение $ 5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}} = 20 $ по основанию 5: $ \log_5{(5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}})} = \log_5{(20)} $
$ \log_5{(5^x)} + \log_5{(2^{\frac{2}{x}})} = \log_5{(5 \cdot 4)} $
$ x + \frac{2}{x}\log_5{2} = \log_5{5} + \log_5{4} $
$ x + \frac{2}{x}\log_5{2} = 1 + 2\log_5{2} $
Умножим на $ x $ ($ x \neq 0 $): $ x^2 + 2\log_5{2} = x(1 + 2\log_5{2}) $
$ x^2 - (1 + 2\log_5{2})x + 2\log_5{2} = 0 $
По теореме Виета, сумма корней $ x_1+x_2 = 1+2\log_5{2} $, а произведение $ x_1x_2 = 2\log_5{2} $.
Отсюда корни $ x_1=1 $ и $ x_2=2\log_5{2} $.
Второй корень: $ x_2=2\log_5{2} = \log_5{(2^2)} = \log_5{4} $.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \log_5{4}$.