Номер 27.33, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.33, страница 171.

27.33. a) $\cos 5x + \cos 7x - \cos 6x = 0;$

б) $\sin 9x - \sin 5x + \sin 4x = 0.$

а) $cos(5x) + cos(7x) - cos(6x) = 0$

Сначала сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы косинусов: $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

$ (cos(7x) + cos(5x)) - cos(6x) = 0 $

$ 2cos(\frac{7x+5x}{2})cos(\frac{7x-5x}{2}) - cos(6x) = 0 $

$ 2cos(\frac{12x}{2})cos(\frac{2x}{2}) - cos(6x) = 0 $

$ 2cos(6x)cos(x) - cos(6x) = 0 $

Теперь вынесем общий множитель $cos(6x)$ за скобки:

$ cos(6x)(2cos(x) - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $cos(6x) = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$ 6x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $n \in Z$

$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6} $, где $n \in Z$

2) $2cos(x) - 1 = 0$

$ 2cos(x) = 1 $

$ cos(x) = \frac{1}{2} $

Решение этого уравнения:

$ x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k $, где $k \in Z$

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $k \in Z$

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in Z$.

б) $sin(9x) - sin(5x) + sin(4x) = 0$

Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу разности синусов: $sin(\alpha) - sin(\beta) = 2sin(\frac{\alpha-\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})$.

$ (sin(9x) - sin(5x)) + sin(4x) = 0 $

$ 2sin(\frac{9x-5x}{2})cos(\frac{9x+5x}{2}) + sin(4x) = 0 $

$ 2sin(\frac{4x}{2})cos(\frac{14x}{2}) + sin(4x) = 0 $

$ 2sin(2x)cos(7x) + sin(4x) = 0 $

Теперь применим формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$ для слагаемого $sin(4x)$:

$ sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) $

Подставим это в уравнение:

$ 2sin(2x)cos(7x) + 2sin(2x)cos(2x) = 0 $

Вынесем общий множитель $2sin(2x)$ за скобки:

$ 2sin(2x)(cos(7x) + cos(2x)) = 0 $

Разделим обе части на 2:

$ sin(2x)(cos(7x) + cos(2x)) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $sin(2x) = 0$

Это частный случай, решение которого:

$ 2x = \pi n $, где $n \in Z$

$ x = \frac{\pi n}{2} $, где $n \in Z$

2) $cos(7x) + cos(2x) = 0$

Применим формулу суммы косинусов $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$:

$ 2cos(\frac{7x+2x}{2})cos(\frac{7x-2x}{2}) = 0 $

$ 2cos(\frac{9x}{2})cos(\frac{5x}{2}) = 0 $

$ cos(\frac{9x}{2})cos(\frac{5x}{2}) = 0 $

Это уравнение распадается еще на два случая:

2а) $cos(\frac{9x}{2}) = 0$

$ \frac{9x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $k \in Z$

$ 9x = \pi + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{9} $, где $k \in Z$

2б) $cos(\frac{5x}{2}) = 0$

$ \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m $, где $m \in Z$

$ 5x = \pi + 2\pi m $

$ x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5} $, где $m \in Z$

Объединяем все полученные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{9}, x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5}$, где $n, k, m \in Z$.