Номер 27.30, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.30, страница 170.

27.30. a) $x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 15;$

б) $(x - 1)x(x + 1)(x + 2) = 24.$

а) Дано уравнение $x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 15$.

Для его решения сгруппируем множители: первый с четвертым, а второй с третьим. Это позволит после раскрытия скобок получить общий член для введения замены переменной.

$(x(x - 3)) \cdot ((x - 1)(x - 2)) = 15$

Раскроем скобки в каждой группе:
$x(x - 3) = x^2 - 3x$
$(x - 1)(x - 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$

Подставив полученные выражения обратно в уравнение, получаем:
$(x^2 - 3x)(x^2 - 3x + 2) = 15$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда уравнение принимает вид:

$t(t + 2) = 15$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 + 2t - 15 = 0$
Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Если $t = 3$, то получаем уравнение:
$x^2 - 3x = 3$
$x^2 - 3x - 3 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

2. Если $t = -5$, то получаем уравнение:
$x^2 - 3x = -5$
$x^2 - 3x + 5 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
Поскольку $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

б) Дано уравнение $(x - 1)x(x + 1)(x + 2) = 24$.

Переставим множители для удобства и сгруппируем их: $((x - 1)(x + 2)) \cdot (x(x + 1)) = 24$.

Раскроем скобки в каждой группе:
$(x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$
$x(x + 1) = x^2 + x$

Подставив выражения обратно, получаем:
$(x^2 + x - 2)(x^2 + x) = 24$

Введем замену переменной. Пусть $y = x^2 + x$. Уравнение принимает вид:

$(y - 2)y = 24$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 2y - 24 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -4$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. Если $y = 6$, то получаем уравнение:
$x^2 + x = 6$
$x^2 + x - 6 = 0$
Это уравнение можно разложить на множители: $(x + 3)(x - 2) = 0$.
Отсюда находим корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.

2. Если $y = -4$, то получаем уравнение:
$x^2 + x = -4$
$x^2 + x + 4 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.
Поскольку $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $-3; 2$.