Номер 27.27, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.27, страница 170.

Решите уравнение:

27.27. a) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0;$

б) $x^3 + 7x^2 - 6 = 0;$

в) $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0;$

г) $x^3 + 4x^2 - 24 = 0.$

а) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

Это кубическое уравнение. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена (-6). Проверим делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Подставим $x = 1$ в уравнение:
$1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$.

Так как равенство верное, $x_1 = 1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ делится на $(x-1)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, например, по схеме Горнера:

$ \begin{array}{c|cccc} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ \hline 1 & 1 & -5 & 6 & 0 \\ \end{array} $

Получили коэффициенты квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6$. Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x-1)(x^2 - 5x + 6) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Решим квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета находим корни: $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$ (так как $2+3=5$ и $2 \cdot 3=6$).

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3$.

б) $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$

Найдем целый корень среди делителей свободного члена (-6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Подставим $x = -1$:
$(-1)^3 + 7 \cdot (-1)^2 - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$.

Корень $x_1 = -1$ найден. Разделим многочлен $x^3 + 7x^2 - 6$ на $(x+1)$.

$(x^3 + 7x^2 + 0x - 6) : (x + 1) = x^2 + 6x - 6$.

Уравнение принимает вид:

$(x+1)(x^2 + 6x - 6) = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 6x - 6 = 0$ с помощью формулы корней.

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$.

Корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 15}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15}$.

Получаем еще два корня: $x_2 = -3 + \sqrt{15}$ и $x_3 = -3 - \sqrt{15}$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -3 + \sqrt{15}, x_3 = -3 - \sqrt{15}$.

в) $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0$

Решим это уравнение методом группировки слагаемых.

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(x^3 + 2x^2) + (3x + 6) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) + 3(x + 2) = 0$.

Теперь вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 + 3) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$.

2) $x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = -2$.

г) $x^3 + 4x^2 - 24 = 0$

Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена (-24): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \dots$

Подставим $x = 2$:
$2^3 + 4 \cdot 2^2 - 24 = 8 + 4 \cdot 4 - 24 = 8 + 16 - 24 = 0$.

Корень $x_1 = 2$ найден. Разделим многочлен $x^3 + 4x^2 - 24$ на $(x-2)$.

$(x^3 + 4x^2 + 0x - 24) : (x - 2) = x^2 + 6x + 12$.

Уравнение принимает вид:

$(x-2)(x^2 + 6x + 12) = 0$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 6x + 12 = 0$.

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 - 48 = -12$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $x = 2$.