Номер 27.20, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.20, страница 169.

27.20. a) $\lg^2 x^2 + \lg 10x - 6 = 0;$

б) $3^x + 3^{-x+1} = 4;$

в) $2 \cos^2 x - 7 \cos x - 4 = 0;$

г) $5^{2\sqrt{x}} + 125 = 6 \cdot 5^{\sqrt{x}+1}.$

а) $lg^2 x^2 + lg 10x - 6 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$x^2 > 0 \implies x \neq 0$

$10x > 0 \implies x > 0$

Следовательно, ОДЗ: $x > 0$.

Используя свойства логарифмов, преобразуем уравнение. Для $x > 0$ имеем:

$lg^2 x^2 = (lg x^2)^2 = (2 lg x)^2 = 4 lg^2 x$

$lg 10x = lg 10 + lg x = 1 + lg x$

Подставим преобразования в исходное уравнение:

$4 lg^2 x + (1 + lg x) - 6 = 0$

$4 lg^2 x + lg x - 5 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = lg x$. Уравнение примет вид:

$4t^2 + t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 9}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$

Вернемся к исходной переменной:

1) Если $lg x = 1$, то $x = 10^1 = 10$.

2) Если $lg x = -\frac{5}{4}$, то $x = 10^{-5/4}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $10; 10^{-5/4}$.

б) $3^x + 3^{-x+1} = 4$

Преобразуем второй член уравнения: $3^{-x+1} = 3^{-x} \cdot 3^1 = \frac{3}{3^x}$.

Уравнение примет вид:

$3^x + \frac{3}{3^x} = 4$

Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

$t + \frac{3}{t} = 4$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 3 = 4t$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета корни $t_1 = 1$, $t_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной:

1) Если $3^x = 1$, то $3^x = 3^0$, откуда $x = 0$.

2) Если $3^x = 3$, то $3^x = 3^1$, откуда $x = 1$.

Ответ: $0; 1$.

в) $2 \cos^2 x - 7 \cos x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1, 1]$, имеем $-1 \leq t \leq 1$.

Уравнение примет вид:

$2t^2 - 7t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$t_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к исходной переменной:

1) $\cos x = 4$. Это уравнение не имеет решений, так как $4 > 1$.

2) $\cos x = -\frac{1}{2}$. Решения этого уравнения находятся по формуле:

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $5^{2\sqrt{x}} + 125 = 6 \cdot 5^{\sqrt{x}+1}$

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.

Преобразуем уравнение:

$5^{2\sqrt{x}} = (5^{\sqrt{x}})^2$

$6 \cdot 5^{\sqrt{x}+1} = 6 \cdot 5^{\sqrt{x}} \cdot 5^1 = 30 \cdot 5^{\sqrt{x}}$

Уравнение примет вид:

$(5^{\sqrt{x}})^2 + 125 = 30 \cdot 5^{\sqrt{x}}$

Перенесем все члены в левую часть:

$(5^{\sqrt{x}})^2 - 30 \cdot 5^{\sqrt{x}} + 125 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = 5^{\sqrt{x}}$. Так как $x \ge 0$, то $\sqrt{x} \ge 0$, и $t = 5^{\sqrt{x}} \ge 5^0 = 1$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - 30t + 125 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета корни $t_1 = 5$, $t_2 = 25$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 1$.

Вернемся к исходной переменной:

1) Если $5^{\sqrt{x}} = 5$, то $5^{\sqrt{x}} = 5^1$, откуда $\sqrt{x} = 1$, и $x = 1$.

2) Если $5^{\sqrt{x}} = 25$, то $5^{\sqrt{x}} = 5^2$, откуда $\sqrt{x} = 2$, и $x = 4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $1; 4$.