Номер 27.17, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.17, страница 169.

Решите уравнение методом введения новой переменной:

27.17. a) $8x^6 + 7x^3 - 1 = 0$;

б) $x^8 + 3x^4 - 4 = 0$.

а) Решение уравнения $8x^6 + 7x^3 - 1 = 0$

Это уравнение можно решить методом введения новой переменной. Заметим, что $x^6 = (x^3)^2$.

Пусть $t = x^3$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$8t^2 + 7t - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 49 + 32 = 81$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.

Корни для $t$ равны:

$t_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

$t_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 8} = \frac{-16}{16} = -1$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.

1. Если $t = \frac{1}{8}$, то $x^3 = \frac{1}{8}$. Отсюда $x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$.

2. Если $t = -1$, то $x^3 = -1$. Отсюда $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; \frac{1}{2}$.

б) Решение уравнения $x^8 + 3x^4 - 4 = 0$

Это уравнение также решается методом введения новой переменной. Заметим, что $x^8 = (x^4)^2$.

Пусть $y = x^4$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, то и $y$ должно быть неотрицательным ($y \ge 0$).

Подставим $y$ в уравнение:

$y^2 + 3y - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней $y_1 + y_2 = -3$, произведение корней $y_1 \cdot y_2 = -4$.

Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -4$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Если $y = 1$, то $x^4 = 1$. Это уравнение имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$.

2. Если $y = -4$, то $x^4 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как четвертая степень любого действительного числа не может быть отрицательной. Этот корень не удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; 1$.