Номер 27.18, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.18, страница 169.

27.18. a) $2^x + 2^{1-x} = 3$;

б) $25^{-x} - 50 = 5^{-x+1}$;

В) $5^x + 4 = 5^{2x+1}$;

Г) $3^{x+1} - 29 = -18 \cdot 3^{-x}$.

а) $2^x + 2^{1-x} = 3$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n} = \frac{a^m}{a^n}$.
$2^x + \frac{2^1}{2^x} = 3$
$2^x + \frac{2}{2^x} = 3$
Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.
Подставим $t$ в уравнение: $t + \frac{2}{t} = 3$
Умножим обе части уравнения на $t$ (поскольку $t \neq 0$):
$t^2 + 2 = 3t$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $3$, а произведение равно $2$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену:
1) $2^x = t_1 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x_1 = 0$.
2) $2^x = t_2 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x_2 = 1$.
Ответ: $0; 1$.

б) $25^{-x} - 50 = 5^{-x+1}$

Приведем все степени к одному основанию $5$.
$25^{-x} = (5^2)^{-x} = 5^{-2x} = (5^{-x})^2$
$5^{-x+1} = 5^{-x} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{-x}$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(5^{-x})^2 - 50 = 5 \cdot 5^{-x}$
Введем замену переменной. Пусть $t = 5^{-x}$. Так как $5^{-x} > 0$, то $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 50 = 5t$
$t^2 - 5t - 50 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 = 15^2$
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 15}{2}$
$t_1 = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$t_2 = \frac{5 - 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_1 = 10$:
$5^{-x} = 10$
Прологарифмируем обе части по основанию 5:
$\log_5(5^{-x}) = \log_5(10)$
$-x = \log_5(10)$
$x = -\log_5(10)$
Ответ: $-\log_5(10)$.

в) $5^x + 4 = 5^{2x+1}$

Преобразуем правую часть уравнения: $5^{2x+1} = 5^{2x} \cdot 5^1 = 5 \cdot (5^x)^2$.
Уравнение примет вид:
$5^x + 4 = 5 \cdot (5^x)^2$
Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
$t + 4 = 5t^2$
Перенесем все члены в одну сторону:
$5t^2 - t - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 = 9^2$
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 9}{10}$
$t_1 = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$t_2 = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$
Корень $t_2 = -0.8$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:
$5^x = 1$
$5^x = 5^0$
$x = 0$
Ответ: $0$.

г) $3^{x+1} - 29 = -18 \cdot 3^{-x}$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
$3^{-x} = \frac{1}{3^x}$
Подставим в уравнение:
$3 \cdot 3^x - 29 = -18 \cdot \frac{1}{3^x}$
Введем замену. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
$3t - 29 = -\frac{18}{t}$
Умножим обе части на $t$ ($t \neq 0$):
$3t^2 - 29t = -18$
$3t^2 - 29t + 18 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 841 - 216 = 625 = 25^2$
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 \pm 25}{6}$
$t_1 = \frac{29 + 25}{6} = \frac{54}{6} = 9$
$t_2 = \frac{29 - 25}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Оба корня положительны, поэтому оба подходят.
Выполним обратную замену:
1) $3^x = t_1 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x_1 = 2$.
2) $3^x = t_2 \Rightarrow 3^x = \frac{2}{3}$. Прологарифмируем по основанию 3:
$\log_3(3^x) = \log_3(\frac{2}{3})$
$x_2 = \log_3(2) - \log_3(3) = \log_3(2) - 1$.
Ответ: $2; \log_3(2)-1$.