Номер 27.19, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.19, страница 169.

27.19. a) $7^{2x+1} - 50 \cdot 7^x = -7;$

б) $\log^2_2 x + 12 = 7 \log_2 x;$

В) $4 \sin^2 x + 4 = 17 \sin x;$

Г) $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 2 = 0.$

а) $7^{2x+1} - 50 \cdot 7^x = -7$

Преобразуем уравнение, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m a^n$. Имеем $7^{2x+1} = 7^1 \cdot 7^{2x} = 7 \cdot (7^x)^2$. Перенесем все члены в одну сторону:

$7 \cdot (7^x)^2 - 50 \cdot 7^x + 7 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$. Так как показательная функция всегда положительна, должно выполняться условие $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$7t^2 - 50t + 7 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$.

Корни для $t$ равны:

$t_1 = \frac{50 + 48}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7$

$t_2 = \frac{50 - 48}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

Оба корня положительны, поэтому удовлетворяют условию $t > 0$. Выполним обратную замену для каждого корня.

Для $t_1 = 7$ получаем: $7^x = 7$, что равносильно $7^x = 7^1$, откуда $x_1 = 1$.

Для $t_2 = \frac{1}{7}$ получаем: $7^x = \frac{1}{7}$, что равносильно $7^x = 7^{-1}$, откуда $x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 1$.

б) $\log_2^2 x + 12 = 7 \log_2 x$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\log_2^2 x - 7 \log_2 x + 12 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\log_2 x$. Введем замену переменной: $t = \log_2 x$.

Уравнение примет вид: $t^2 - 7t + 12 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Отсюда легко найти корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Выполним обратную замену.

1. Если $\log_2 x = 3$, то по определению логарифма $x_1 = 2^3 = 8$.

2. Если $\log_2 x = 4$, то по определению логарифма $x_2 = 2^4 = 16$.

Оба корня (8 и 16) положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $8; 16$.

в) $4 \sin^2 x + 4 = 17 \sin x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4 \sin^2 x - 17 \sin x + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Область значений синуса: $-1 \le \sin x \le 1$, следовательно, для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$.

Уравнение примет вид: $4t^2 - 17t + 4 = 0$.

Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$t_2 = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Теперь проверим корни на соответствие условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 1$. Это посторонний корень.

Корень $t_2 = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию, так как $-1 \le \frac{1}{4} \le 1$.

Выполняем обратную замену: $\sin x = \frac{1}{4}$.

Общее решение этого простейшего тригонометрического уравнения имеет вид: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 2 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Корень четной степени $\sqrt[6]{x}$ определен только для неотрицательных чисел, поэтому $x \ge 0$.

Заметим, что $\sqrt[3]{x}$ можно представить как $(\sqrt[6]{x})^2$, так как $x^{1/3} = (x^{1/6})^2$. Уравнение можно переписать в виде:

$(\sqrt[6]{x})^2 - \sqrt[6]{x} - 2 = 0$

Введем замену переменной: $t = \sqrt[6]{x}$. Из ОДЗ следует, что $t \ge 0$.

Уравнение для $t$ будет: $t^2 - t - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($ -1 < 0 $), поэтому является посторонним.

Остается одно решение для $t$: $t=2$. Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x} = 2$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в шестую степень:

$x = 2^6 = 64$

Найденный корень $x=64$ удовлетворяет ОДЗ ($64 \ge 0$).

Ответ: $64$.