Номер 27.26, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.26, страница 170.

27.26. Сколько корней имеет заданное уравнение на указанном промежутке:

a) $2^x = \sin x$, $[0; +\infty)$;

б) $(\frac{4}{5})^x = \cos x$, $(-\infty; 0];$

в) $7^x = \cos x$, $[0; +\infty);$

г) $\log_3 x = \sin x$, $(0; 3]?$

а)
Рассмотрим уравнение $2^x = \sin x$ на промежутке $[0; +\infty)$.
Для решения этого уравнения графическим методом построим графики функций $y = 2^x$ и $y = \sin x$.
Функция $y = 2^x$ является показательной с основанием больше 1, поэтому она строго возрастает. На промежутке $[0; +\infty)$ её значения принадлежат промежутку $[1; +\infty)$, так как $2^0 = 1$.
Функция $y = \sin x$ является тригонометрической, и её значения всегда находятся в промежутке $[-1; 1]$.
Для того чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы значения функций совпадали. Однако, для любого $x > 0$ имеем $2^x > 1$, в то время как $\sin x \le 1$. Следовательно, равенство $2^x = \sin x$ при $x > 0$ невозможно.
Проверим точку $x=0$: $2^0 = 1$, а $\sin 0 = 0$. $1 \ne 0$, так что $x=0$ не является корнем.
Таким образом, на промежутке $[0; +\infty)$ графики функций $y = 2^x$ и $y = \sin x$ не пересекаются.
Ответ: 0 корней.

б)
Рассмотрим уравнение $(\frac{4}{5})^x = \cos x$ на промежутке $(-\infty; 0]$.
Построим графики функций $y = (\frac{4}{5})^x$ и $y = \cos x$.
Функция $y = (\frac{4}{5})^x$ является показательной с основанием меньше 1, поэтому она строго убывает. На промежутке $(-\infty; 0]$ её значения принадлежат промежутку $[1; +\infty)$, так как $(\frac{4}{5})^0 = 1$ и при $x < 0$ значение $(\frac{4}{5})^x > 1$.
Функция $y = \cos x$ является тригонометрической, и её значения всегда находятся в промежутке $[-1; 1]$.
Единственное возможное общее значение для обеих функций — это 1. Равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения равны 1.
$(\frac{4}{5})^x = 1$ при $x=0$.
$\cos x = 1$ при $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число.
На промежутке $(-\infty; 0]$ единственным общим решением является $x=0$. Подставив $x=0$ в исходное уравнение, получаем верное равенство: $(\frac{4}{5})^0 = 1$ и $\cos 0 = 1$.
Для любого $x < 0$ имеем $(\frac{4}{5})^x > 1$, в то время как $\cos x \le 1$, поэтому других корней нет.
Ответ: 1 корень.

в)
Рассмотрим уравнение $7^x = \cos x$ на промежутке $[0; +\infty)$.
Построим графики функций $y = 7^x$ и $y = \cos x$.
Функция $y = 7^x$ является показательной с основанием больше 1, поэтому она строго возрастает. На промежутке $[0; +\infty)$ её значения принадлежат промежутку $[1; +\infty)$, так как $7^0 = 1$.
Функция $y = \cos x$ имеет область значений $[-1; 1]$.
Как и в предыдущем пункте, единственное возможное общее значение — это 1. Равенство $7^x = \cos x$ может выполняться только если $7^x=1$ и $\cos x=1$.
$7^x = 1$ при $x=0$.
$\cos x = 1$ при $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число.
На промежутке $[0; +\infty)$ единственным общим решением является $x=0$. Проверка показывает, что $x=0$ является корнем: $7^0 = 1$ и $\cos 0 = 1$.
Для любого $x > 0$ имеем $7^x > 1$, а $\cos x \le 1$, поэтому других корней на данном промежутке нет.
Ответ: 1 корень.

г)
Рассмотрим уравнение $\log_3 x = \sin x$ на промежутке $(0; 3]$.
Для нахождения числа корней сравним поведение функций $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = \sin x$ на заданном промежутке. Разобьем промежуток $(0; 3]$ на части для удобства анализа.
1. На промежутке $(0; 1]$:
Функция $f(x) = \log_3 x$ принимает неположительные значения ($f(x) \le 0$).
Функция $g(x) = \sin x$ на этом промежутке принимает положительные значения ($g(x) > 0$).
Следовательно, на промежутке $(0; 1]$ равенство $f(x)=g(x)$ невозможно. Корней нет.
2. На промежутке $(1; 3]$:
Рассмотрим поведение функций на концах этого отрезка (хоть $x=1$ и не входит в него, значения в этой точке важны для понимания).
При $x \to 1^+$, $f(x) = \log_3 x \to 0$. При этом $g(1) = \sin 1 > 0$ (т.к. $0 < 1 < \pi/2$). Таким образом, вблизи $x=1$ график $f(x)$ лежит ниже графика $g(x)$.
При $x=3$, $f(3) = \log_3 3 = 1$. Значение $g(3) = \sin 3$. Поскольку $\pi/2 < 3 < \pi$, то $0 < \sin 3 < 1$. Следовательно, $f(3) > g(3)$.
Рассмотрим функцию $h(x) = f(x) - g(x) = \log_3 x - \sin x$.
Эта функция непрерывна на $(1; 3]$. Мы выяснили, что $h(x) < 0$ для $x$, близких к 1, и $h(3) > 0$. По теореме о промежуточном значении, на интервале $(1; 3)$ существует хотя бы один корень.
Теперь исследуем монотонность функции $h(x)$ на $(1; 3]$. На этом промежутке функция $f(x) = \log_3 x$ строго возрастает. Поведение функции $g(x) = \sin x$ меняется: она возрастает на $(1; \pi/2]$ и убывает на $(\pi/2; 3]$.
- На промежутке $(\pi/2; 3]$ (где $\pi/2 \approx 1.57$) $f(x)=\log_3 x$ возрастает, а $g(x)=\sin x$ убывает. Следовательно, их разность $h(x) = \log_3 x - \sin x$ строго возрастает. Так как $h(\pi/2)=\log_3(\pi/2) - \sin(\pi/2) = \log_3(\pi/2) - 1 < 0$ и $h(3) > 0$, то на этом промежутке существует ровно один корень.
- На промежутке $(1; \pi/2]$ обе функции возрастают. $f(x)$ возрастает от 0 до $\log_3(\pi/2) \approx 0.41$. $g(x)$ возрастает от $\sin 1 \approx 0.84$ до 1. Поскольку на этом отрезке минимальное значение $\sin x$ больше, чем максимальное значение $\log_3 x$, то $g(x) > f(x)$ на всем отрезке. Значит, корней здесь нет.
Объединяя результаты, получаем, что на всем промежутке $(0; 3]$ уравнение имеет ровно один корень.
Ответ: 1 корень.